ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ И АБСОЛЮТНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ

матрица всей системы или подсистемы неприводима, то система или подсистема са- ма называется неприводимой. Система называется разложимой, если она состоит из двух или более замкнутых множеств.

Если мы вначале стартуем с

j

-го элемента для некоторого фиксированного

j

и обозначим его первое воздействие на самого себя по пути длины

k ≥ 1

через

f

_j^k, то имеем

( )1 ( )1

,

( )2 ( )2 ( ) ( )1 1 ( )^k ( )^k ( ) (1 ^k 1) (^k 1) ( )1

j jj j jj j jj j jj j jj j jj

f = ω f = ω − f ω … f = ω − f ω

⁻

− − … f

⁻

ω

( )

1

k

j j

k

f

^∞

f

=

= ∑ =

показывает совокупное воздействие

j

на себя. Среднее воздействие (

j

на себя) получаем в виде:

( )

0 k

j j

k

u

^∞

kf

=

= ∑

^.

В соответствии с приоритетом влияния имеем (новые термины, вводимые ниже, существенны, так как мы не занимаемся временными переходами):

1. Если

f

_j

= 1

, то

j

называют устойчивым (рекуррентным) элементом. Таким об- разом, элемент называется устойчивым, если сумма его относительных приоритетов на себя за один шаг (петля), два шага (по контуру, включающему один другой эле- мент), три шага (включающими два других элемента) и т. д., равна единице.

2. Если

f

_j

< 1

, то

j

называют неустойчивым (преходящим). Элемент

j

, который является или устойчивым, или неустойчивым, называется циклическим (периодиче- ским) с цикличностью (периодом)

c

, если

u

_j имеет величины

c

,

2c

,

3c

, …, где

c

– наибольшее целое, большее единицы, с этим свойством (

ω

_ij^{( )k}

= 0

, где

k

не делится без остатка на

c

). Устойчивый элемент

j

, для которого

u

_j бесконечно, называют исчезающим (нулевым). Устойчивый элемент

j

, который не является ни цикличе- ским, ни исчезающим (т. е.

u

_j

< ∞

), называют поддерживающим (эргодическим).

И для неустойчивого, и для исчезающего элемента

j ω

_ij^{( )k}

→ 0

для всех

i

. Если один элемент в неприводимой подсистеме – циклический с периодом

c

, то все эле- менты в этой подсистеме – циклические с периодом

c

. Известно, что если

j

– под- держивающий элемент, то при

k → ∞

,

ω

^{( )}_jj^k

→ 1 u

_j;

j

– исчезающий элемент, если это число ноль, и поддерживающий элемент, если оно положительно. Все элементы неприводимой подсистемы являются либо неустойчивыми, либо устойчивыми, и со- ответственно система называется неустойчивой или устойчивой.

1, ,

0, .

ij

если i зависит от j b в противном случае

=  



Замечание. Следующее выражение всегда имеет место, независимо от того, при- водима система или нет. В случае неприводимости ее значения известны:

1 ( )

0

1, ,

lim 1 , .

m k

m k ij j

если i и j неустойчивы u если i и j устойчивы

−

ω

→∞ =

=  

∑ 

Все конечные системы элементов должны иметь, по крайней мере, один поддер- живающий элемент, который образует замкнутое неприводимое подмножество эле- ментов. Так как все устойчивые элементы конечной системы являются поддержи-

вающими, образованный таким образом блок (компонента) называют поддержи- вающим.

Если

j

– циклический элемент с периодом

c > 1

, то если

k

не является множителем

c

и

( )m

jj

c u

j

ω →

,

при

m → ∞

;

k mc =

,

m

– положительно и

c

– наибольшее целое, для которого

k mc =

.

Ранее отмечалось, что приводимость и примитивность играют важную роль при доказательстве существования ПОП и ПАП. Теперь представим несколько основных, относящихся к этим понятиям фактов, которые будут полезны при дальнейшем об- суждении.

Неотрицательная неприводимая матрица примитивна, если имеет единственное главное собственное значение. Если матрица имеет другое собственное значение с тем же модулем, что и главное собственное значение, то ее называют импри- митивной.

Если главное собственное значение имеет кратность больше единицы (равную единице), но не имеется других собственных значений с таким же модулем, как у главного собственного значения, то матрицу называют правильной (регулярной).

Примитивная матрица всегда регулярна и, следовательно, правильна, однако об- ратное утверждение неверно, например, что единичная матрица имеет собственным значением единицу. Кратность собственного значения равна порядку матрицы. Мат- рица правильна тогда и только тогда, когда в нормальной форме изолированные блоки примитивны. Для регулярной матрицы число изолированных блоков равно единице.

Заметим, что если все элементы

W

положительны, то мы имеем примитивную матрицу и справедлива теорема о стохастических примитивных матрицах, сущест- вуют и ПОП и ПАП. Они совпадают и получаются в результате решения задачи о собственном значении

W ω ω =

. В действительности

ω

– любой столбец

lim W

^k. Та- кой же результат справедлив, если

W

– примитивная матрица.

В общем случае неотрицательная матрица

W

может иметь нулевые элементы.

Тогда матрица или неприводимая, или приводимая. Если она неприводимая, то она примитивная, и в этом случае применимы приведенные выше соображения, либо она импримитивная. В последнем случае матрица имеет

s

не равных единице собст- венных значений (

s

называется индексом импримитивности), модули которых рав- ны единице. Это число играет важную роль для получения решения в общем случае, из которого следует решение в данном случае. Здесь достаточно заметить, что все

2 1

, , ,

^s

W W … W

⁻ не являются правильными матрицами, и их степени имеют тенден- цию к периодическим повторениям. Система циклична с периодом

s

.

Замечание. Система ациклична, циклична, неприводима, приводима в зависимо- сти от того, является ли соответствующая матрица

W

примитивной, импримитивной, неприводимой или приводимой.

Если

W

неотрицательна и приводима, то она приводится к нормальной форме.

Если изолированные блоки примитивны (говорят, что они соответствуют существен- ным компонентам, а оставшиеся матрицы соответствуют несущественным компонен- там), то система по определению называется примитивной и ПОП и ПАП существуют (см. [53], стр. 112).

Важное замечание. Когда стохастическая по столбцам матрица приводима, ее существенные компоненты определяют систему, так как они являются «источника- ми», или воздействующими на приоритет компонентами, в противоположность

«сточным колодцам», или переходным – поглощающим состояниям марковской це-

пи. В любой диаграмме, за исключением петель, стрелки начинаются в этих компо- нентах и не заканчиваются в них.

Решение для ПОП определяется выражанием

( ) ( )

( )

1

1

lim 1

k k

W W I W

−

∞

→∞

− Ψ

≡ =

Ψ ′

^,

где

^Ψ ( ) ^λ

– минимальный полином

W

, а

^{Ψ ′} ( ) ^λ

– его первая производная по

λ

. Каждый столбец

W

^∞ является характеристическим вектором

W

, соответствующим

max

1

λ =

. Если

λ

_max

= 1

– простое, т. е.

W

регулярна, то

^Ψ ( ) ^λ

^{можно заменить на}

( ) ^λ

∆

– характеристический полином

W

. Решение для ПАП получается

( )0

ω

^∞

= W

^∞

ω

,

если

W

– правильная матрица, и как собственный вектор

W ω

^∞

= ω

^∞, если

W

регулярна.

Замечание. Можно показать, что матрицы

W

^∞, соответствующие существенным компонентам, положительны; что касается матриц воздействий на приоритеты от существенных к несущественным компонентам, то они также положительны (они получаются в результате произведения

( I Q − ) (

⁻¹

R R

1

,

2

, … , R

_k

)

^T нормальной формы;

см. гл. 7). Только матрицы воздействия от несущественных к несущественным или от несущественных к существенным компонентам равны нулю.

Наконец, если не все изолированные блоки примитивны, то, как было отмечено, каждый имеет индекс импримитивности. Рассмотрим их наименьшее общее кратное, которое представляет собой цикличность

c

системы. Используя степени

W

, ПОП получаем в виде

(

¹

)( ) ( ) ^{( )}

¹

( )

1 1

1 1

c c c c

W I W W W W W W

c c

∞ − ∞

= + + + …

−

= − −

,

а ПАП – в виде

( )0

ω = W ω

.

W

называют средним ПОП,

ω

– средним ПАП.

Если имеется единственный изолированный блок, то средний ПАП является не- зависимым от начальных приоритетов и определяется единственным образом как решение

W ω ω =

.

Это в точности соответствует случаю неприводимой импримитивной системы.

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 193-196)