Динамические суждения Интенсивность

важности, зависимой от

времени

Описание Объяснение

α

Постоянное для всех t целое число, 1≤ ≤

α

9

Относительный вес не изме- няется

1

( )

2

a t +a Линейное отношение по t, увеличиваю- щееся или уменьшающееся до некоторой точки. Отметим, что обратная величина – гипербола

Постоянное увеличение од- ного вида деятельности по сравнению с другим

( )

1log 1 2

b t+ +b Логарифмический рост до определённой

точки, а затем постоянство Быстрое увеличение (умень- шение), за которым следует медленное увеличение (уменьшение)

1 2 3

c ec t +c Экспоненциальный рост (или убывание, если c₂ – отрицательно) до определённой точки и затем постоянство (отметим, что обратная величина в случае, если c₂ от- рицательно – логистическая S-образная кривая)

Медленное увеличение (уменьшение), за которым следует быстрое увеличение (уменьшение)

2

1 2 3

d t +d t d+ Парабола с максимумом или минимумом в зависимости от того, отрицательно или положительно d₁ и затем постоянство (может быть модифицирована для асим- метричности вправо или влево)

Увеличение (уменьшение) до максимума (минимума) и за- тем уменьшение (увеличе- ние)

( )

1 ⁿsin 2 3

e t t e+ +e ^{Колебания} Колебание с увеличиваю-

щейся (уменьшающейся) ам- плитудой в зависимости от

0

n>

(

n≤0

)

Катастрофы Указываются разрывы Чрезвычайно сильные изме- нения в интенсивности

опускающемся до минимума и возрастающем, колебательном и, наконец, допускаю- щем катастрофическое изменение.

Матрица 2×2

Для этого случая

λ

max

( ) t = 2

и наша зависимая от времени задача о собственном значении представляется в виде

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

( )

2 2

1 2

1/ 1

a t t t

a t t t

ω ω

ω ω

     

    =  

     

^,

откуда имеем

( ) ( ) ( ) ( )

1

t a t

2

t 2

1

t

ω + ω = ω

,

( ) ( ) ( ) ( )

1

t a t /

2

t 2

2

t

ω + ω = ω

.

Из первого уравнения получаем

( ) ( ) ( )

1

t a t

2

t

ω = ω

,

что также может быть получено из второго уравнения. Эти два уравнения не мо- гут быть независимыми, в противном случае детерминат

^{A t} ( )

не был бы равен нулю и мы не имели бы ненулевого решения. Поэтому можно зафиксировать

ω

2

( ) t

произ- вольным образом, например положить

ω

2

( ) t = 1

, отсюда получим

ω

1

( ) t = a t ( )

. Нор- мализованный правый собственный вектор имеет вид

{ ^{a t} ( ) ^{/ }  ^{a t} ( ) ^{+ 1 , 1/ }  ^  ^{a t} ( ) ^{+ 1 }  }

^.

Нормализованный левый собственный вектор будет обратным элементом, т. е.

( ) ( ) ( )

{ ^{1/ a t a t }  ^{+ 1 , 1/ }  ^  ^{a t + 1 }  }

Матрица 3×3

Моррис [109], решая кубическое уравнение, достаточно просто показал, что

λ

_max

для случая

3 3 ×

при

a

_ij

= 1/ a

_ji представляется в виде

( )

^{1/ 3}

( )

^{1/ 3}

max

a

13

/ a a

12 23

a a

12 23

/ a

13

1

λ = + +

Заметим, что

λ

_max всегда

≥ 3

(мы доказали, что в общем случае

λ

_max

≥ n

).

Система уравнений, соответствующая этому случаю, представляется следующим образом:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

t a

12 2

t a

13 3

t

max

t

1

t

ω + ω + ω = λ ω

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

t a /

12 2

t a

23 3

t

max

t

2

t

ω + ω + ω = λ ω

,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

t a /

13 2

t a /

23 3

t

max

t

3

t

ω + ω + ω = λ ω

.

Положим

ω

₁

= 1

. Первое уравнение будет

( ) ( ) ( )

12 2 13 3

1

a ω t + a ω t = − − λ

, а второе –

( ¹ − λ ω )

₂

+ ^a

₂₃

ω

₃

= − ^{1/ a}

₁₂. Решим их теперь относительно

ω

₂ и

ω

₃. Получим

( )

23

(

13 12

)

2

1 a a / a ω = λ ^{− +}

∆

^,

( )

²

3

1 1 λ ω = ^{− + −}

∆

^,

где

∆ = a a

12 23

+ a

13

( λ − 1 )

. Чтобы нормализовать компоненты, образуем

( ) ( ) ( )

²

12 23 13 23 13 12

1 2 3

1 / 1 1

a a a λ a a a λ D

ω ω ω + + = ^{+ − + − + −} ≡

∆ ∆

^.

Следовательно,

1

/ D

ω = ∆

,

( )

23

(

13 12

)

2

1 a a / a D

ω = λ ^{− +}

,

( )

²

3

1 1 D

ω = ^{− + −} λ

.

Для левого собственного вектора, который является поэлементно обратным, имеем:

( )

²

1

1 1 E υ = ^{− + −} λ

( ) ( )

12 13 23

2

1 /

a a a

E

υ = λ ^{− +}

,

3

/ E

υ = ∆

, где

( )

² 12

( ) (

13 23

)

12 23 13

( )

1 1 1 / 1

E = − + − λ + a λ − + a a + a a + a λ −

. Матрица 4×4

Рассмотрим обратносимметричную матрицу

4 4 ×

с элементами, являющимися функциями времени

1

1/ 1

1/ 1/ 1

1/ 1/ 1/ 1

a b c

a d e

A b d f

c e f

 

 

 

=  

 

 

.

Отметим, что все коэффициенты могут быть функциями параметра

t

. Характери- стическое уравнение этой матрицы

( ) ( )

4

4

3

B 8 B C 5 0

λ − λ − − λ + + − =

, где

df e ae c ad b bf c

B e df c ae b ad c bf

       

=   +   +   +     + +   +   +  

^,

3 adf c ae bf cd cd be .

C c adf bf ae ae be cd

       

= −   +     − +      −    − +  

Рассмотрим редукцию уравнения четвертой степени следующим образом:

( ^λ

²

^{− 2 λ} ) ^{= ( B − 8 ) λ − ( B C + − + 5 ) 4 λ}

^2.

Добавляя

( ^λ

²

^{− 2 λ} ) ^{r + 1} ₄ ^r

²

(

r

– параметр) к обеим частям уравнения, получаем

( ) ( ) ( )

2

2

1

2

1

2

2 4 8 2 5

2 r r B r 4 r B C

λ λ λ λ

 − +  = + + − − + − + −

 

 

^.

Правая часть является полным квадратом линейной функции по

λ

в том и толь- ко в том случае, если ее детерминант равен нулю, т. е.

( ⁸ ) ²

²

^{4 1}

²

( ⁵ ) ( ⁴ )

B r  4 r B C  r

∆ =   − −   −   − + −   + =

( ) ( )

3

4 3 16

2

16 0

r c r B C

= − + + + − + + =

,

и называется кубической резольвентой уравнения четвёртой степени. Если

r

– ко- рень этого уравнения, то

∆ = 0

. Имеем

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2

2

1 2 4

2 4 4 1

2 2 4 2 4

B r B

r r r

r r

λ λ ^ λ ^{− +  } λ ^

 − +  = +  +  = +  − + 

  + +

     

^,

откуда при использовании наибольшего значения

r

получим

max

2 4 8

2 4 2 4

r r B

λ = ^{+ +} + ⁻ + r

+

^.

Теперь посмотрим, как решается кубическое уравнение.

Кубическую резольвенту можно представить в виде

3

0

r + pr q + =

, где

^{p = − 4} ( ^{C + 3} )

^,

^{q = 16 − B}

²

^{− 16 C}

^.

Используя преобразование

3 r z p

= − z

, запишем резольвенту в виде

3 3

3

0

27

z p q

− z + =

или

3

6 3

0

27 z + qz − p =

, а это – квадратное уравнение по

z

³.

Таким образом, решения будут

3

2

z = − ± q R

, где

^R = ( ^{p / 3} ) (

³

+ ^{q / 2} )

². Пусть

1 3

2

T = − + q R

, ₂ ³

2

T = − − q R

. Кубические корни из единицы будут

1

, ¹

1 1 2 2 3 i

ω = − +

, ²

1 1 2 2 3 i ω = − −

. Получаем следующие шесть решений

T

1,

ω

¹

T

₁,

ω

²

T

₁,

T

₂,

ω

¹

T

₂,

ω

²

T

₂

уравнения

3

6 3

0

27 z + qz − p =

.

Известно, что корни приведённого кубического уравнения

r

³

+ pr q + = 0

пред- ставляются в виде

1 1 2

r = + T T

,

1 2

2 1 2

r = ω T + ω T

,

2 1

3 1 2

r = ω T + ω T

. Поэтому

( )

2 1/ 3

2 3 2

1

8 8 4 3 8 8

2 3 2

B B

r C C C

       

 

= − +     +   +   − +   +   − −     +

( )

2 1/ 3

2

4

3 2

8 8 3 8 8

2 3 2

B B

C C C

       

 

+ − +     +   −   − +   +   − −    

,

2 1 2

1 1 1 1

3 3

2 2 2 2

r = − +    i T    + − −    i T    =

( ) ( )

2 1 2 1 2

1 3

2 2

r = − T + T + T − T i

,

3 1 2

1 1 1 1

3 3

2 2 2 2

r = − −    i T    + − +    i T    =

( ) ( )

2 1 2 1 2

1 3

2 2

r = − T + T − T − T i

.

Если

T

₁

= T

₂,

R = 0

и корни

^r

₂

= = − ^r

₃

( ^{q / 2} )

^{1/ 3}. действительны;

^r

₁

= − ² ( ^{q / 2} )

^{1/ 3}. Кроме того, поскольку корни комплексно-сопряжённые,

r

₁ всегда является действи- тельным корнем кубической резольвенты. Это следует из того факта, что

p ≥ 0

. Чтобы понять это, отметим, что

C

имеет три члена вида

x + 1/ x

. Минимальное зна- чение такого члена равно 2, т. е.

C ≤ − 3

и

^{p = − 4} ( ^{C + ≥ 3} ) ⁰

^{. Поэтому}

r r =

1 всегда действителен. К тому же

r ≥ 0

, так как

q ≤ 0

. Это следует из

2

16 16

B + C ≥

,

( )

2

16 1

B ≥ − C

. Минимум

^{16 1} ( ^{− C} )

^{есть 64.}

Аналогично минимальное значение

B

² есть 64. Поэтому

q ≤ 0

. Итак, первый член из выражения для

r

₁ положителен и, кроме того, всегда превосходит второй.

Поэтому

r r = ≥

₁

0

является корнем, который используется выше в выражении для

λ

max.

Решение системы

A ω λ ω =

_max , которое в развернутой форме имеет вид

( 1 − λ ω )

1

+ a ω

2

+ b ω

3

+ c ω

4

= 0

,

( )

1 2 3 4

1 1 d e 0

a ω + − λ ω + ω + ω =

,

( )

1 2 3 4

1 1

1 f 0

b ω + d ω + − λ ω + ω =

,

( )

1 2 3 4

1 1 1

1 0

c ω + e ω + f ω + − λ ω =

, после нормализации будет:

0

1 1

/ Q

ω ω =

,

ω

₂

= ω

₂⁰

/ Q

,

ω

₃

= ω

₃⁰

/ Q

,

ω

₄

= ω

₄⁰

/ Q

, где

( ¹ ) (

³

)( ¹ )

²

( ³ ) ( ) ^{1 1 e} ( ¹ )

Q c f e ae b d f c

a b d

λ λ ^{   } λ

= − + + + − +   − + + +   +   +   − +

( ^{adf a e f} ) ^{be bf cd ae c b}

d ba b ad

+ −

 − − − +   +   + 

   

 

^,

( ) (

²

)( )

0

1

1 1 be

c ae bf adf c

ω = λ − + + λ − + ^   + d − ^  

^,

( )

²

( )

0

2

1 c 1 bf cd

e df e

a a b

ω = λ − + ^   + ^   λ − + ^   + − ^  

^,

( )

²

( )

0

3

1 e c 1 c ae

f f

d b ad b

ω = λ − + ^   + ^   λ − + ^   + − ^  

^,

( )

²

( )

0

4

1 3 1 ad b

b ad ω = λ − − λ − − ^   + ^  

^.

Замечание. Из полученного решения видно, что если любой коэффициент уве- личивается (уменьшается) в данной строке матрицы парных сравнений, то величина компоненты собственного вектора, соответствующей этой строке, увеличивается (уменьшается) относительно остальных компонент. Это свойство присуще и общему случаю для обратносимметричной матрицы.

В завершении этого раздела рассмотрим простой случай семьи, состоящей из от- ца (О), матери (М) и ребенка (Р). Очевидно, что время, которое ребенок проводит дома, завись г от его возраста. Ребенок будет находиться дома то же время, что и мать, а затем, взрослея, он будет проводить дома все меньше времени по сравнению с тем временем, которое проводит дома мать. Предполагается, что мать не ходит на работу.

Если сравнить время, проводимое дома матерью и ребенком, и составить диа- грамму этого отношения как функцию времени, то получим кривую, показанную на рис. 5.1.

Кривая начинается с одинакового времени, которое проводит дома мать и ребе- нок, затем отношение времени матери к времени ребенка растет, пока кривая не станет горизонтальной. Это произойдет ко времени, когда ребенок достигло 15–16 лет.

Сравнение времени, проводимого дома отцом и ребенком, дает отношение, кото- рое является зеркальным отражением верхней кривой. Это отношение показано на рис. 5.2. Относительная величина времени, проводимая дома отцом и матерью, не будет меняться слишком сильно и можно предположить, что она более или менее постоянна.

Рис. 5.1

Рис. 5.2

Если требуется провести парные сравнения различных промежутков времени, проводимых дома различными членами семьи, то нужно получить последователь- ность матриц сравнения, каждая из которых соответствовала бы определенному пе- риоду времени.

Рассмотрим период времени, соответствующий возрасту ребёнка до четырех лет.

Если исключить, скажем, восемь часов ночью, то можно ожидать, что мать и ребёнок проводят примерно в 2–3 раза больше времени дома, чем отец. Конечно, мать и ре- бёнок проводят дома одно и то же время.

Это дает следующую матрицу:

1 1/ 2,5 1/ 2,5

2,5 1 1

2,5 1 1

O M P

O M P

 

 

 

 

 

 

max

3,0

λ =

; ИС = 0,0; ОС = 0,0

Отсюда получаем следующий собственный вектор для их относительного време- ни пребывания дома

: 0,167; : 0,417; :0,417

О М Р

,

который разумно отражает соответствующие пропорции времени.

Примерно в четыре года ребенок начинает ходить в детский сад, так что проис- ходит разное изменение в относительных пропорциях времени, проводимом дома матерью с ребенком и отцом с ребенком.

Изменяющиеся пропорции в одной матрице можно записать, используя завися- щее от времени выражение для этих пропорций

( )

( )

1 1/ 2 1/ 3 1 / 2

2 1 0,4 1 / 2

3 1 / 2 1/ 0,4 1 / 2 1

O M P

nt O

M nt

nt nt

P

 

 − 

 

+

 

 − + 

 

где

t

– возрастной период от 4 до 16 лет.

Эта матрица, наряду с предыдущей, приводит к кривым на рис. 5.3–5.5, которые изображают соответствующие парные сравнения при изменении возраста от нуля до 16 лет.

Рис. 5.3. Мать и ребёнок: возраст от 0 до 16 лет

Рис. 5.4. Отец и мать: возраст от 0 до 16 лет

Рис. 5.5. Отец и ребёнок: возраст от 0 до 16 лет

Решение задачи о максимальном собственном значении, соответствующем этим кривым парных сравнений для

( ^{4 ≤ ≤ t 16} )

^{, будет}

( )( 2 )

^{1/ 3}

( 3 1 / 2 0,4 1 / 2 )( )

^{1/ 3}

3 1 / 2 0,4 1 / 2 2

nt nt

nt nt

λ = ^   − + ^   + ^   ^{− + }  

^.

Соответствующий собственный вектор получается в виде

∆ / D

,

( 1 0,4 1 / 2 )( ) ² / 3 1 / 2

nt D

λ nt

 − + + 

 − 

 

^,

( )

²

1 1 λ / D

 − + − 

 

^,

где

( ) ¹

0,5 0,4 1 / 2

3 1 / 2

nt nt

λ −

∆ = + +

−

^,

( 0,5 0,4 1 / 2 )( ) ¹ 1 ( 1 )

²

3 1 / 2

D nt

nt

λ λ ⁺ λ

= − + + − + −

−

^.

По окончании школы ребенок проводит дома меньше времени, чем отец. Про- порции еще раз становятся довольно постоянными и отражаются в следующей со- гласованной матрице парных сравнений:

1 0,5 1,25

2 1 2,5

0,8 0,4 1

O M P

O M P

 

 

 

 

 

 

max

3,0

λ =

; ИС = 0,0; ОС = 0,0 Собственный вектор будет

: 0,263; : 0,526; :0,211

О М Р

.

Рис. 5.6. Сравнительное время, проводимое дома

Построение результирующих диаграмм для

0 ≤ ≤ t 4

,

4 ≤ ≤ t 16

и

16 ≤ t

реалисти- чески воспроизводит сравнительное время, по отношению ко всем остальным чле- нам семьи, которое каждый член семьи проводит дома (рис. 5.6).

5.5. ИЗМЕРЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 90-99)