ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННОГО ВЕКТОРА

Часто возникает вопрос, насколько чувствительны приоритеты, задаваемые ком- понентами собственного вектора, к небольшим изменениям в величинах суждений.

Желательно, чтобы приоритеты не колебались в широких пределах при малых изме- нениях в суждении. Существуют три способа проверки этой чувствительности:

1) нахождение математической оценки колебания; 2) получение ответов, основан- ных на большом числе компьютерных вычислений, построенных соответствующим образом для проверки чувствительности; 3) комбинация предыдущих двух способов, особенно при невозможности проведения полной аргументации аналитически.

Как уже указано, в случае согласование

λ

_max равно следу матрицы, который представляет собой сумму единичных элементов. При этом следует ожидать, что собственный вектор, соответствующий возмущенной матрице, изменится на величи- ну, обратно-пропорциональную размеру матрицы.

Собственные значения матрицы лежат между ее наибольшими и наименьшими строчными суммами элементов. Изменение величины элемента в матрице влияет на соответствующую строчную сумму и обусловливает тенденцию изменения

λ

_max на такую же величину. Однако поскольку на изменение собственного вектора также влияет и размер матрицы, можно ожидать, что чем больше матрица, тем меньшим будет изменение каждой компоненты.

Начнем анализ этой проблемы, рассмотрев матрицу

A

с характеристическим уравнением (см. [185])

( )

1 ¹

det A − λ I = λ

ⁿ

+ a λ

ⁿ⁻

+ + … a

_n

= 0

.

Пусть теперь

A + ε B

– матрица, полученная введением малого возмущения в

A

. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

( )

1

( )

¹

( )

det A + ε B − λ I = λ

ⁿ

+ a ε λ

ⁿ⁻

+ + … a

_n

ε = 0

,

где

a

k

( ) ε

– полином степени

( ^{n k −} )

^от

ε

, такой, что

a

k

( ) ε → a

k при

ε → 0

.

Пусть

λ

₁ – максимальное простое собственное значение, соответствующее ха- рактеристическому уравнению

A

. Уилкинсон в [185] доказал, что для малого

ε

имеется собственное значение матрицы

A + ε B

, которое может быть выражено как сумма сходящегося степенного ряда, т. е.

( )

²

1 1

k

1

k

2

λ ε = + λ ε + ε +…

Пусть

ω

₁ – собственный вектор

A

, соответствующий

λ

₁ и

ω ε

1

( )

собственный вектор

A + ε B

, соответствующий

λ ε

1

( )

. Элементы

ω ε

1

( )

– полиномы от

^{λ ε} ( )

^и

ε

, и так как степенной ряд для

λ ε

1

( )

сходится при малом

ε

, каждый элемент

ω ε

1

( )

может быть представлен как сходящийся степенной ряд от

ε

. Можно написать

( )

²

1 1

z

1

z

2

ω ε = ω ε + + ε + …

Если матрица

A

имеет линейные элементарные делители, то существуют полные множества правых и левых собственных векторов

ω ω

₁

,

₂

, … , ω

_n и

υ υ

₁

, ,

₂

… , υ

_n, таких, что

υ ω

_{i j}

= 0

,

i ≠ j

.

Заметим, что

ω

_j и

υ

_j являются

j

-ми собственными векторами (правым и ле- вым), а не

j

-ми компонентами векторов.

Векторы

z

_i, могут быть представлены через

ω

_i следующим образом:

1 n

i ij j

j

z s ω

=

= ∑

^,

что после подстановки в формулу для

ω ε

1

( )

дает

1

( )

1

2 1

n n

j

ij i

i j

ω ε ω t ε ω

= =

= + ∑∑

^,

где

t

_ij получены делением

s

_ij на коэффициент

ω

₁.

Возмущения собственных значений первого порядка даны коэффициентом

k

₁

выражения для

λ ε

1

( )

.

Теперь выведем выражение для возмущений первого порядка соответствующих собственных векторов. Нормализуя векторы

ω

_j и

υ

_j и используя евклидову метри- ку, находим

j j

1

υ ω =

. Мы знаем, что

( A + ε ω ε B ) ( )

1

= λ ε ω ε

1

( ) ( )

1 .

При подстановке выражений для

λ ε

1

( )

и

ω ε

1

( )

, полученных выше, и использо- вании равенства

A ω

₁

= λ ω

_{1 1} имеем

(

¹

)

^{1 1 1 1}

2 n

j j j

j

t B k

λ λ ω ω ω

=

− + =

∑

^.

Умножив обе части на

υ

^T_j , после упрощения получим

1 1 1 1 1

T T

k = υ ω υ ω B

, для

j = 1

и

^t

^j1

= ( υ ω λ λ υ ω

^Tj

^B

¹

(

¹

−

^j

)

^{1T j}

)

, для

j ≠ 1

, где, как уже отмечено,

k

₁ – возмущение

λ

₁ первого порядка, и

( ) ^{[ ]}

1 1 1 1 1 1 1

T T T

k = υ ω υ ω B ≤ B υ ω

, где

[ ] ^B

– сумма элементов

B

.

Итак, для достаточно малого

ε

чувствительность

λ

₁ зависит в основном от вели- чины

υ ω

₁^T ₁, которая может быть произвольно малой.

Возмущение первого порядка

ω

₁ определяется выражением

( )

( ) ( ^{( ) ( )} )

1 1 1 1 1 1

2 2 2

n n n

T T T T

j j j j j j j j j j j j

j j j

t B A

ω ε ω ε υ ω λ λ υ ω ω υ ω λ λ υ ω ω

= = =

∆ = ∑ = ∑ − = ∑ ∆ −

^,

где

∆ ≡ A ε B

.

Собственный вектор

ω

₁ будет весьма чувствителен к возмущениям в

A

, если

λ

₁

близко к любому из других собственных значений. Когда

λ

₁ значительно отдалено

от других собственных значений и ни одно из

υ ω

_i^T _i не мало, собственный вектор

ω

₁, соответствующий собственному значению

λ

₁, будет сравнительно нечувствителен к возмущениям в

A

. Это имеет место, например, для кососимметричных матриц (

a

_ji

= − a

_ij ).

T

i i

υ ω

в некотором отношении взаимозависимы, что предотвращает возможность того, чтобы только одно

1 υ ω

_i^T _i ,

i = 1, … , n

, было большим. Поэтому, если одна из них произвольно велика, они все произвольно велики. Однако желательно, чтобы они были малы, т. е. близки единице. Положим

i ij j

j

ω = ∑ c υ

^{и j ij j}

j

υ = ∑ d ω

^,

где

ω

_i

= υ

_i

= 1

,

i = 1, … , n

. После подстановки легко убедиться, что

T T

ij j i j j

c = ω ω υ ω

и

d

_ij

= υ υ υ ω

^T_{j i} ^T_{j j}. Тогда

( )( )

T T T T T

i i ij j ij j j i j i j j

j j j

d c

υ ω = ∑ ω ∑ υ = ∑ ω ω υ υ υ ω

^,

для

i = j ω ω υ υ

_i^T _i

=

_i^T _i

= 1

и ^{iT i}

(

^{iT i}

)

¹

(

^{Tj i}

)( )(

^{Tj i Tj j}

)

¹

j i

υ ω υ ω

⁻

ω ω υ υ υ ω

⁻

≠

= + ∑

^.

Так как

ω ω

^T_{j i}

= cos θ

_ij и

υ υ

^T_{j i}

= cos ϕ

_ij, имеем

(

^{T i}

)

_i¹

(

^{iT i}

)

¹

(

^{Tj j}

)

¹

¹ (

^{Tj i}

)

¹

j i j i

υ ω

⁻

υ ω

⁻

υ ω

⁻

υ ω

⁻

= =

≤ + ∑ ≤ + ∑

^,

что должно быть верным для всех

i = 1, 2, … , n

. Это доказывает, что все

υ ω

_i^T _i долж- ны быть одного порядка.

Теперь покажем, что для согласованных матриц

( ^{υ ω}

^{1T 1}

)

^{−1 не может быть произ-}

вольно большим. В случае согласованности имеем

( )

1 11 1 1

1

1 , , 1

ⁿ

1

T

n j

i

υ ω ω ω

=

= ^… ∑

^,

( )

1^T 11

, ,

1_n

ω = ω … ω

. Поэтому

(

^{1 1}

)

¹

⁽

^{11 1}

^{) (}

^{11 1}

⁾

^{1 1 1 1}

1 1

1 , ,1 , ,

^{T n}

1

ⁿ

1

T

n i i i

i i

n n

υ ω ω ω ω ω ω ω

− −

−

= =

   

=   ^{… …} ∑   =   ∑   >

^,

так как

1 1

1 1

1

n n

i i

i i

n ω ω n

= =

∑ < ∑

^.

Теперь

( ^{υ ω}

^{1T 1}

)

⁻¹ принимает минимальное значение, когда все

ω

_1i равны, так как

1 1

1

n i i

ω

=

∑ =

^.

Практически, для удерживания

(

1 1

)

¹

υ ω

T ⁻ вблизи минимума нужно оперировать с относительно сравнимыми объектами, такими, чтобы ни одна из из

ω

_1i не была слишком малой.

Для улучшения согласованности число

n

не должно быть слишком большим. С другой стороны, если мы собираемся полностью использовать имеющуюся информа- цию и получить практически обоснованные результаты,

n

не следует брать слиш- ком малым. Например, если отбросить величины

υ ω

₁^T ₁

< 0,1

, то нужно иметь

n ≤ 9

.

При допущении малого числа сравниваемых объектов и их относительной срав- нимости можно показать, что ни одна из компонент векторов

ω

₁ и

υ

₁ не будет про- извольно малой и, следовательно, скалярное произведение двух нормализованных векторов не может быть произвольно малым.

При большой несогласованности никто не может гарантировать, что ни одна из компонент

ω

₁ не будет произвольно малой. Поэтому близость к согласованности яв- ляется достаточным условием устойчивости. Отметим также, что следует ограничи- ваться сравнительно малым числом элементов, таким, чтобы величины всех

ω

_1i бы- ли одного порядка.

Приведенные выше соображения свидетельствуют о том, что обратносимметрич- ные матрицы являются архитипичными матрицами, создающими в случае согласо- ванности устойчивые собственные векторы при малых возмущениях. Это позволяет сделать важный вывод: для гарантирования устойчивости оценки в основной шкале отношений, полученной из парных сравнений, разумно сопоставлять небольшое число относительно сравнимых элементов. В социальных науках к этому выводу уже давно пришли экспериментально. Ученые заметили, что число элементов должно быть

7 2 ±

, однако соответствующим образом не осознали необходимость требова- ния относительной сравнимости [106].

Другим полезным выводом является следующее: если считать «объектами одной важности» объекты, не отличающиеся друг от друга по важности больше, чем в 10 раз, то шкала, используемая при парных сравнениях сопоставимых объектов, долж- на иметь деления, лежащие где-то между единицей и десятью, в противном случае будут сравниваться объекты, которые в большой степени несопоставимы по важно- сти. Это приведет к сравнительно малым значениям для некоторых из

ω

_1i и соответ- ственно к нарушению стабильности шкалы, т. е. изменение собственного вектора будет непредсказуемым даже при легких изменениях величин суждений в матрице сравнений.

Формула Варгаса

Определяя величину возмущения собственного вектора при некотором значении возмущения исходной матрицы, мой ученик Л. Варгас показал в своей диссертации [169], что если обратносимметричную матрицу

A

возмутить обратносимметричной матрицей

P

с использованием поэлементного (Адамара) произведения (которое обозначается

A P

), то результирующая матрица будет обратносимметричной, а ве- личина возмущения

∆ ω

главного собственного вектора

ω

матрицы

A

дается вы- ражением

( ^{y ,}

¹

^{y 1} )

ω ω

⁻

ω

∆ = < > −

,

где

< > ,

– скалярное произведение двух векторов, а

y ω

– вектор поэлемент- ного произведения

y

на

ω

; вектор

y

– главный собственный вектор матрицы

E

*

= E P

, где

E

получена поэлементным делением элементов

A

на соответствую- щие элементы

W = ( ω ω

i j

)

.

Пример 7.1.

При изложении примера об освещенности стульев в гл. 2, согласно закону об- ратного квадрата в оптике для сравнительной освещенности стульев имели

( 0,6079; 0, 2188; 0,1108; 0,0623 )

. Приведенная ниже матрица

A

составлена из отно- шений этих величин, а матрица

P

является первой матрицей из гл. 2, являющейся возмущением

A

:

1 2,7 5, 4 9,76 0,36 1 1,97 3,51 0,18 0,51 1 1, 78 0,10 0, 28 0,56 1 A

 

 

 

=  

 

 

,

1 5 6 7

0, 2 1 4 6

0,17 0, 25 1 4 0,14 0,17 0, 25 1 P

 

 

 

=  

 

 

.

Собственный вектор

A

будет

ω = ( 0, 6079; 0, 2178; 0,1108; 0,0623 )

и

λ

_max

= 4

. Соб- ственный вектор

P

будет до

ω

^*

= ( 0, 6187; 0, 2353; 0,1009; 0,04507 )

и

λ

_max

= 4,391

. Матрица возмущения

E

получена поэлементным делением

A

на

P

:

1 1,80 1,09 0, 71 0,56 1 2,03 1, 71 0,91 0, 49 1 2, 25 1,39 0,58 0, 44 1 A

 

 

 

=  

 

 

.

Собственный вектор

E

есть

y = ( 0, 2730; 0, 2885; 0, 2444; 0,1941 )

, а

λ

_max

= 4,391

– такое же, что для

P

. Наконец,

∆ = ω ( 0, 01076; 0, 01651; 0, 00985; 0, 01722 − − )

. Легко проверить, что

ω + ∆ = ω ω

^*.

ГЛАВА 8

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 177-182)