ПРИМЕР НАЦИОНАЛЬНЫХ БОГАТСТВ ИЗ ГЛ. 2

1 9 7 1/ 9 1 1/ 5 1/ 7 5 1

A =

_,

и ее вектор приоритетов есть

( ω ω ω

1

,

2

,

3

) = ( 0,77; 0,06; 0,17 )

;

λ

_max

= 3,21

с индек- сом согласованности, равным 0,1. Образуем матрицу отношений приоритетов, соот- ветствующих

ω ω

_i

/

_j. Наибольшая абсолютная разность – между

a

₁₂ и

ω ω

₁

/

₂. Поэто- му, заменив

a

₁₂ на

ω ω

₁

/

₂

= 14,15

и пересчитав приоритеты, получим вектор

( 0,81; 0,94; 0,15 )

с

λ

_max

= 3,09

и согласованностью 0,02. Отметим продолжающееся улучшение согласованности. Если снова заменим первую строку, которая дает наи- большие разности с

ω ω

_i

/

_j, то получим вектор

( 0,76; 0,04; 0,20 )

и

λ

_max

= 3,023

с со- гласованностью 0,01. Заменив первую строку соответствующими отношениями, име- ем вектор

( 0,75; 0,04; 0,21 )

с

λ

_max

= 3,003

и индексом согласованности 0.00, указы- вающим на последовательное улучшение, согласованности. Как видно, можно при- нять и более длительную процедуру, в которой используется аппроксимация мето- дом наименьших квадратов с помощью матрицы единичного ранга и затем вычисля- ется ее собственный вектор.

Другой и возможно более уместный способ пересмотра суждений относится к вы- бору наибольшего из отношений

a

_ij к

ω ω

_i

/

_j и проработке этой идеи (см. гл. 7 для доводов).

Следует избегать чрезмерного увлечения этим процессом навязывания величин суждений для улучшения согласованности. Он искажает ответ. Улучшить суждения скорее следует естественным образом, исходя из опыта.

3.6. ВСЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ:

Левые собственные векторы

0.022 –0.001–0.047i –0.001+0.047i –0.060–0.036i –0.060+0.036i –0.116–0.188i –0.116+0.188i 0.039 –0.070–0.036i –0.070+0.036i 0.026+0.125i 0.026–0.125i –0.092+0.932i –0.092–0.932i 0.450 0.847–0.509i 0.847+0.509i 1.364–0.222i 1.364+0.222i 0.468–0.680i 0.468+0.680i 0.155 0.145+0.128i 0.145–0.128i 0.160+0.174i 0.160–0.174i 8.108–6.549i 8.108+6.549i 0.186 0.235+0.304i 0.235–0.304i –0.554+0.206i –0.554–0.206i –8.664+6.397i –8.664–6.397i 0.061 –0.099+0.056i –0.099–0.056i 0.076–0.096i 0.076+0.096i –1.115–1.808i –1.115+1.808i 0.087 –0.057+0.104i –0.057–0.104i –0.012–0.152i –0.012+0.152i 2.412+1.895i 2.412–1.895i

3.7. КОНСЕНСУС И МЕТОД ДЕЛЬФИ

Важной особенностью, относящейся к высказыванию суждений несколькими ли- цами, является то, каким образом достигается консенсус из их суждений. Процесс достижения консенсуса может быть использован для убеждения людей в том, что их интересы принимаются во внимание. Поэтому для наших целей консенсус означает увеличение уверенности в значениях приоритетов посредством привлечения не- скольких экспертов для приведения приоритетов в соответствие с предпочтениями большинства.

Есть несколько интересных работ, проведенных по проблеме достижения кон- сенсуса: Кемени и Снэлл [81], чья работа была обобщена Богартом [14, 15], исполь- зовали аксиоматический подход для разработки метода достижения консенсуса в случае слабого упорядочения (предпочтительно – 1, равенство – 0, непредпочти- тельно – -1) множества объектов несколькими лицами. Они доказали, что существу- ет единственная функция расстояния, удовлетворяющая всем аксиомам. Эта функ- ция использована для получения матрицы консенсуса посредством поиска для каж- дого элемента величины, которая минимизирует сумму квадратов расстояний до ка- ждого соответствующего элемента матриц суждений, построенных несколькими ли- цами. Результатом может быть не целое число; некоторые исследователи на практи- ке округляют числа до ближайшего целого. Величина, полученная таким образом, называется средней. Функция расстояния также используется для получения матри- цы медианных значений. Каждый элемент этой матрицы минимизирует сумму рас- стояний до соответствующих элементов матриц суждений. Хотя как среднее, так и медиана представляются разумными способами достижения консенсуса, среднее обеспечивает способ «приравнивания объектов», которые сравниваются, в то время как медиана предлагает способ «отбора среди экспертов», высказывающих сужде- ние. В нашем случае применяется геометрическое среднее.

Богарт обобщил подход функции расстояния на все частичные упорядочения множества, распространив предыдущую работу на полуупорядочения и интерваль- ные упорядочения и даже на нетранзитивные упорядочения. После доказательства единственности функции расстояния, удовлетворяющей разумному набору аксиом, среди прочих вещей он показал следующее:

1. Среднее набора упорядочений в множестве всех антисимметричных упорядо- чений удовлетворяет правилу решения (называемому правилом сильного большинства), согласно которому

a

предпочтительнее

b

, если число предпо- читающих элемент

a

элементу

b

минус число предпочитающих

b

элементу

a

больше половины числа лиц, производящих суждение. Правило ведет к един- ственному среднему набора.

2. Упорядочение правилом большинства (при котором

a

предпочтительнее

b

, если это утверждает большинство людей, высказывающих суждение) для множества антисимметричных упорядочений является медианой множества.

Эта медиана единственна, если число экспертов, предпочитающих элемент

a

элементу

b

, не равно числу экспертов, предпочитающих

b

элементу

a

. В настоящей работе консенсус достигается по различным направлениям. Ре- шающим является количество информации, имеющейся для произведения суждений.

При поиске консенсуса предпочтительно взаимодействие экспертов. Хорошо инфор- мированное лицо может существенно повлиять на мнение лица, обладающего мень- шей информацией. Дискуссия может помочь сблизить суждения и обеспечить ин- формацией самих экспертов для применения метода установления приоритетов.

Следовательно, наш подход к консенсусу заключается в применении метода на- хождения приоритетов для нескольких лиц, вовлекаемых в соответствии с содержа- нием их суждения. Факторами, влияющими на суждение, могут быть: относительный интеллект (однако, измеренный), опыт, информированность, глубина знаний, опыт в смежных областях, личный интерес в исследуемом вопросе и т. д. Если к суждению этих людей мы относимся с большим доверием, то полученный приоритет использу- ется для взвешивания окончательного результата, полученного из суждения каждо- го лица, и затем общий взвешенный приоритет определяется обычным путем. С дру- гой стороны, если степень доверия к суждениям, произведенным экспертами, низка, то следует применять геометрическое среднее их индивидуальных суждений в каж- дой матрице сравнений.

В промежуточных ситуациях можно прибегнуть к комбинации этих двух проце- дур, однако подробно эту проблему мы не изучали. Другой областью исследования является сравнение результатов, полученных этим путем и в других работах.

Как представить групповое суждение удовлетворительным образом, когда опыт и суждения людей различаются? Чьи мнения должны быть более серьезно приняты во внимание и почему? – важные задачи социальных исследований и анализа кон- фликтов.

Представляется, что мысль, развитую и оцененную одной группой, следует пере- дать другой группе для обсуждения и изменения суждения. Но конечный результат может все же еще сильно меняться. Поэтому переговоры и приход к соглашению должны быть внутренней процедурой группового согласия. Не следует выносить третейского решения по приоритетам, используя суждения привилегированной группы по сравнению с остальными. Другими словами, выявление удобной и при- годной для работы математической схемы для задачи не решает автоматически ее социальных сложностей. Тем не менее эта схема может упростить процесс выявле- ния того, где должны быть достигнуты наиболее плодотворные компромиссы и со- глашения. Если социальная задача требует арбитража, то посредник должен тща- тельно оценить потребности и влияния групп перед тем, как указать, где следует пойти на компромиссы. Возможно, наиболее многообещающим вкладом иерархиче- ского анализа является использование в структурировании задачи с самого начала взаимно конфликтующих групп, а не пассивных свидетелей, а затем приход к со- глашению через численные входные данные.

Рассмотрим кратко еще один метод, который сильно зависит от концепции кон- сенсуса, – метод Дельфи. Этот метод является хорошо известным процессом, кото- рый позволяет анализировать задачи, оценивать величины и прогнозировать пер- спективную пользу от управления. Ниже приведено общее описание процедуры как часть сравнения с иерархическим анализом.

Основные различия между методом Дельфи и иерархическим анализом следую- щие:

1. Анонимное по сравнению с описанным групповое обсуждение. В методе Дель- фи каждый участник группы отвечает анонимное на заранее подготовленную анкету, чтобы избежать непропорционального влияния сильных личностей. В иерархическом анализе критерии и суждения устанавливаются в основном от- крытым групповым процессом.

2. Корректировка представляет собой последовательность туров по сравнению с динамическим обсуждением. В методе Дельфи должен быть дан обзор резуль- татов анкетирования, а корректировку требуется провести вновь на аноним- ной основе. В иерархическом анализе при построении иерархии и произведе- нии суждений используется динамическое обсуждение посредством взаимного

соглашения и пересмотра взглядов. Участники пытаются представить свои ар- гументы открыто.

3. Анкета в качестве основы для суждений по сравнению с иерархической струк- турой. В методе Дельфи вид анкеты предполагает выбор переменных, вклю- ченных лицом, создающим анкету. В иерархиях группа решает, какие пере- менные производят воздействие на требуемое суждение. Вначале все предло- женные переменные принимаются. Позже в процедуре некоторыми из них можно пренебречь из-за низкого приоритета, приписанного им группой.

4. Статистический и количественный анализ по сравнению с качественным ана- лизом. Метод Дельфи требует численных ответов, которые должны быть под- вергнуты статистическому анализу в качестве основы для следующего тура.

Для иерархий в суждения включены абсолютные числа от 1 до 9, отражающие качественные суждения о парном сравнении и используемые как часть полу- чения точной оценки для основной шкалы отношений. Согласованность как необходимое условие, обосновывающее шкалирование реальности, является важным критерием.

В обоих случаях процесс анализа задачи улучшает качество суждений, однако метод иерархического анализа расчленяет суждение на элементарные компоненты и поэтому лучше подходит к познавательной манере человека. Другим важным итогом является определение группой множества важных переменных, что придает ей большую уверенность в релевантности своих суждений. Эта процедура полезна для уменьшения рассогласований открытым динамическим образом. Многие исследова- тели, пользующиеся ею на практике, рекомендовали ее использование при плани- ровании и прогнозировании как краткую и простую процедуру, отражающую мнения участников с весьма эффективным результатом.

3.8. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

Частое применение парных сравнений ведет к заинтересованности при сравне- ниях троек, четверок и т. д. Примером сравнения троек является мысль о нахожде- нии между. Например, B между A и C требует представления всех трех элементов: A, B и C. Если нас интересует разработка шкалы для множества элементов из тройных сравнений или сравнение более высокого порядка, то необходим метод представле- ния сравнений для получения шкалы. Простым способом представления такого

n

-арного отношения является использование вектора, численные входы которого указывают на взаимное положение

n

элементов в сравнении.

Известно, что с векторами пар можно ассоциировать числа следующим образом.

Достаточно показать, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством

E

¹ действительных чисел

x

, таких, что

0 < ≤ x 1

, и множеством

E

² то- чек на плоскости, определяемом как

^E

²

⁼ { ( ^{x y ,} ) ( ^{| 0 < ≤ x 1 и} ) ( ^{0 < ≤ y 1} ) }

^{. Теперь}

каждый элемент

x

в

E

¹ может быть представлен в форме

0, , , x x

_{1 2}

… , x

_k

, …

. Этот массив может быть разделен на «блоки». Таким образом, число 0,740653001... име- ет последовательные блоки 7, затем 4, затем 06, затем 5, затем 3, затем 001 и т. д.

Каждый блок имеет разряд, отличный от нуля, и это последний разряд блока. Мы имеем упорядоченную пару

( ^{0, , , x x}

^{11 12}

^{… , 0, x x}

¹²

^,

²²

^{, …} )

^с

x

1¹

= 7

,

x

₁²

= 4

,

x

¹₂

= 0,6

,

2

2

5

x =

,

x

¹₃

= 3

,

x

₃²

= 001

и т. д., что дает (0,7063; 0,45001), в котором блоки припи- саны попеременно к двум координатам точки в

E

². Этот обратимый процесс пред- ставляет взаимно однозначные соответствия между элементами в единичном интер- вале и точками в единичном квадрате с нулем (0,0).

Ясно, что процесс (хотя и неоднозначный) может быть распространен на 3-компонентный вектор, если взять первый вход вместе с числом в

E

¹, которое ас- социировано с вектором следующих двух входов, и затем, ассоциируя новое число в

E

1 с полученной парой и т. д., можно распространить процесс для

n

-компонентных векторов. Таким образом (хотя и не единственным) можно концептуально ассоции- ровать числа векторами. Для определенной задачи необходим хороший способ, по- зволяющий сделать выбор.

Можно также распространить подход, основанный на собственных значениях для парных сравнений, на использование комплексных чисел. Процесс будет соответст- вовать сравнению объектов относительно двух независимых признаков одновремен- но. При согласованном случае остается

A ω = n ω

с

n

, являющимся наибольшим соб- ственным значением

A

, и отношение согласованности

a

_jk

= a a

_ik

/

_ij также остается в силе. Малые возмущения в коэффициентах могут теперь произвести малое ком- плексное возмущение в

n

, в результате чего получим

λ

_max – комплексное число, и, конечно, решение в общем случае будет комплексным. Нормализация к единице прямым сложением больше не имеет смысла. Может стать необходимым применение евклидовой нормы

( a a

1

,

2

) = + a

1

ia

2, которая будет

( a a

1²

,

2²

)

^{1/ 2}. Обобщение может быть проведено на кватернионы, т. е. числа вида

1 2 3 4

a + ia + ja + ka

,

и на октавы или октонионы, включающие восемь мнимых аргументов. Известно, что дальше этих чисел выйти невозможно, так как тождества вида

( a

1²

+ + … a

8²

)( b

1²

+ + … b

8²

) = c

1²

+ + … c

8²

возможны только для сумм 1, 2, 4 и 8 квадратов [167].

ГЛАВА 4

No documento Вачнадзе Москва «Радио и связь» 1993 (2)ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА Советскому читателю предлагается перевод книги известного американского ученого Томаса Саати, вышедшей в 1980 г (páginas 65-70)