As características dos contextos das tarefas

Quando se selecionam ou constroem tarefas é importante ter em conta as características dos seus contextos (Fosnot & Dolk, 2001a, 2001b). Essas características relacionam-se com três aspetos fundamentais: as situações associadas, os modelos subjacentes e os números envolvidos (Fosnot & Dolk, 2001a, 2001b; Mendes, 2012). Embora estes três aspetos se interrelacionem, irei descrevê-los e discutir a sua importância no desenvolvimento do sentido de número, separadamente. Contudo, sempre que neste trabalho me refiro ao contexto das tarefas, incluo estes três elementos.

As situações associadas aos contextos. Uma das características das situações

associadas aos contextos potenciadoras do desenvolvimento do sentido de número dos alunos é que sejam interessantes para estes, na aceção de constituírem um desafio, criarem surpresa e suscitarem questões. Ou seja, devem despertar nos alunos a vontade de explorar

a tarefa e de permitir a formulação de questões do tipo: Porque é que isto acontece? E o que acontece se…? Será que isto é assim? (Fosnot & Dolk, 2001b). Outra das características relacionadas com as situações associadas aos contextos é que façam sentido para os alunos (Fosnot & Dolk, 2001a, 2001b; Yang et al., 2004; Sood & Jitendra, 2007; Yang, 2003b).

Para alguns autores é o facto de os contextos incluírem situações reais do dia-a-dia dos alunos, que facilita esta atribuição de sentido, justificando a importância desta característica das tarefas a partir do entendimento que assumem de sentido de número. Se sentido de número envolve “uma compreensão geral e pessoal dos números e das operações e a uma habilidade para lidar com as situações do dia-a-dia que envolvem números” (Yang et al., 2004, p. 427), então é fundamental que os problemas numéricos propostos permitam o estabelecimento de conexões com situações da vida real dos alunos (Yang et al., 2004). A importância desta característica dos contextos é também salientada por Sood e Jitendra (2007) ao afirmarem que as tarefas que incluem contextos relacionados com a vida real promovem uma compreensão relacional e um significativo desenvolvimento do sentido de número, ou seja, facilitam a atribuição de significado dos conceitos associados aos números e às operações. Num estudo realizado com alunos do 5.º ano de escolaridade, Yang (2003b) refere a importância desta característica dos contextos das tarefas. Em particular, realça a importância dos contextos serem reais na atribuição de significado a ‘números grandes’, aspeto em relação ao qual refere que os alunos deste ano de escolaridade habitualmente revelam algumas dificuldades.

O que parece ser mesmo fundamental é que os contextos das tarefas incluam situações próximas dos alunos. Inclusive, há autores que salientam essencialmente este último aspeto. As situações associadas aos contextos podem até ser imaginárias, desde que os alunos as compreendam e lhes atribuam sentido (Brocardo & Delgado, 2009; Fosnot & Dolk, 2001a, 2001b). É esta atribuição de sentido que permite interpretar os problemas numéricos, resolvê-los e analisar a razoabilidade dos seus resultados. Efetivamente,

as crianças conseguem “agir”, no sentido de analisar e manipular, sobre contextos da vida de todos os dias como as embalagens de ovos ou de bombons ou sobre contextos imaginários mas que pertencem ao seu mundo (situações que estão associadas a histórias ou a desenhos animados, por exemplo). Pelo contrário, não

conseguem “agir” sobre situações que envolvam a interpretação de contextos, reais ou imaginários, que desconhecem. (Brocardo & Delgado, 2009, pp. 2, 3)

Referindo-se a tarefas matemáticas em geral, ou seja, não especificamente relacionadas com os números e as operações ou que perspetivem o uso e o desenvolvimento do sentido de número, Ponte (2005) afirma ser importante que os alunos sejam colocados perante tarefas às quais estão associados contextos reais, como por exemplo, tarefas de aplicação e de modelação. Para além de permitirem que os alunos se apercebam que a Matemática é usada em situações reais e de que forma é usada nessas situações, o conhecimento destes contextos poderá ajudá-los a lidar com a Matemática. Contudo, este autor chama a atenção para a importância do professor diversificar os contextos das tarefas, atendendo ao seu grau de proximidade com a realidade. Por exemplo, a realização de tarefas formuladas em contextos matemáticos (investigações, problemas, explorações) podem constituir um desafio para os alunos e ajudá-los a “perceber como se desenvolve a atividade matemática dos matemáticos profissionais” (p. 26). Referindo-se ao desenvolvimento do sentido de número dos alunos, Mendes (2012) realça a importância da realização de cadeias numéricas, cujo contexto é puramente matemático, e que permitem envolver os alunos no estabelecimento de relações numéricas relacionadas com as propriedades dos números e das operações.

Ao enunciar o Princípio do Ensino, e assumindo que um dos objetivos das tarefas é envolver os alunos na Matemática, o NCTM (2000/2007) afirma que:

Essas tarefas poderão relacionar-se com experiências da realidade dos alunos, ou poderão surgir em contextos puramente matemáticos. Independentemente do contexto, as tarefas deverão provocar interrogações, possuindo um nível de desafio que convide à especulação e ao trabalho árduo. (NCTM, 2007, p. 19)

Esta transcrição resume algumas ideias importantes aqui discutidas sobre as características das situações associadas aos contextos das tarefas, salientando a diversidade das situações associadas aos contextos (próximas da realidade dos alunos ou puramente matemáticos) e o interesse que a sua exploração pode despertar nos alunos (suscitar interrogações e constituir um desafio).

Os modelos subjacentes aos contextos das tarefas. Uma das características das

tarefas potenciadoras do desenvolvimento do sentido de número é permitir o uso de modelos (Fosnot & Dolk, 2001b; Fosnot, Dolk, Zolkower, Hersch & Seignoret, 2006; Gravemeijer, 2005). Este aspeto surge muito associado à ideia, preconizada por Freudenthal (1968), que a aprendizagem da Matemática deve, sobretudo, constituir um processo de matematização da realidade. Neste sentido, os contextos das tarefas devem ter associadas situações que permitam ser matematizadas pelos alunos, ou seja, devem proporcionar aos alunos desenvolver atividades de interpretação, organização e construção de significados das situações (Fosnot et al., 2006).

Considerando que os modelos correspondem a mapas mentais que auxiliam a atividade matemática, Fosnot e Dolk (2001a, 2001b) indicam um conjunto de modelos associados à compreensão e uso das quatro operações elementares (linha numérica vazia, linha numérica dupla, tabelas de proporção, modelo retangular, etc.). Por exemplo, o modelo retangular é um modelo indicado por diversos autores para suportar as primeiras aprendizagens da multiplicação, facilitando a compreensão desta operação e de algumas das suas propriedades (Fosnot & Dolk, 2001b; Mendes, 2012; Nickerson & Whitacre, 2010). Salientando a importância do uso de modelos para a compreensão do efeito das operações, McIntosh et al. (1992) advertem que um modelo adequado para a compreensão de uma determinada operação, num determinado universo numérico, poderá não o ser noutro universo numérico.

Para além dos modelos suportarem as primeiras aprendizagens relativas às operações, permitem aos alunos evoluírem nas suas estratégias de resolução dos problemas, contribuindo para a construção de um novo conhecimento matemático (Gravemeijer, 2005). Por exemplo, Mendes (2012), num estudo que envolveu alunos do 3.º ano de escolaridade, focado na aprendizagem da multiplicação, conclui que “os contextos das tarefas, sobretudo, os associados à disposição retangular, parecem ter contribuído para a evolução dos procedimentos dos alunos” (pp. 500, 501), suportando os procedimentos de cálculo baseados na decomposição de números e propiciando o uso de uma representação adequada para a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Um dos elementos das tarefas que pode promover o uso de modelos por parte dos alunos é o tipo de imagens que eventualmente nela estão incluídas. Para além de serem ilustrativas da situação associada ao contexto, podem também suscitar o uso de determinados modelos (Brocardo & Delgado, 2009). Por exemplo, placas de comprimidos, painéis de azulejos, objetos empilhados e dispostos retangularmente, são algumas das imagens que suscitam o uso do modelo retangular (Brocardo & Delgado, 2009; Mendes, Brocardo, Delgado & Gonçalves, 2009). Mendes (2012), no seu estudo, no qual houve a preocupação de incluir imagens com estas características nas tarefas, encontrou evidências que estas imagens “auxiliam os cálculos de alguns dos alunos, suportando diferentes procedimentos multiplicativos” (p. 516).

Todos estes aspetos relacionados com os modelos conduzem-nos a pensar no papel do professor quando seleciona tarefas intencionalmente orientadas para o desenvolvimento do sentido de número dos alunos. Efetivamente, é fundamental que o professor tenha um conhecimento profundo acerca dos modelos que auxiliam os alunos a progredir nas suas aprendizagens numéricas e no modo como as situações associadas aos contextos podem promover o uso desses modelos (Fosnot et al., 2006).

Os números envolvidos. Por fim, outra das características dos contextos das

tarefas relaciona-se com os números envolvidos. Se recordarmos os elementos caracterizadores do sentido de número de documentos de referência nesta área, o sentido de número relaciona-se, entre outros aspetos, com uma boa compreensão das grandezas relativas dos números e com a consciência da existência de números de referência usados no dia-a-dia (NCTM, 1989/1991). Aliás, o conhecimento e destreza com os números, uma das três áreas de caracterização do sentido de número proposta por McIntosh et al. (1992), inclui a importância do desenvolvimento de sistemas de valores de referência. É através destes sistemas e por um processo de comparação, que os alunos desenvolvem o conhecimento de múltiplas representações dos números e o sentido das grandezas relativa e absoluta dos números (McIntosh et al.,1992).

Para além de poderem contribuir para o desenvolvimento de sistemas de valores de referência, os números envolvidos nos contextos fornecem pistas sobre aspetos importantes relacionados com a resolução da tarefa e ajudam os alunos a tomar decisões.

Nomeadamente, influenciam a possibilidade dos alunos usarem representações e/ou métodos eficazes de cálculo, através da escolha de números e métodos de cálculo adequados (mentais, calculadoras, papel e lápis) (McIntosh et al.,1992). A relação entre os números envolvidos nas tarefas e as opções que os alunos tomam na sua resolução é também sublinhada por Mendes (2012) ao afirmar que “Os números de referência incluídos nas tarefas facilitam os cálculos efetuados, baseados em relações numéricas” (p. 518) e “Há procedimentos usados pelos alunos (…) que são veiculados pelos números incluídos nas tarefas” (p. 519).

Dado que os números envolvidos numa tarefa podem influenciar o modo como os alunos a resolvem, fazer uma escolha criteriosa desses números constitui um aspeto importante a ter em conta pelo professor. Destaca-se como fundamental propor tarefas que recorram a números de referência, a números que facilitem o estabelecimento de relações numéricas e que apelem aos sistemas de referência já adquiridos pelos alunos (Yang & Hsu, 2009; McIntosh et al.,1992; Mendes, 2012).

Assim, ao pensar nos contextos das tarefas que promovem o desenvolvimento do sentido de número, é importante que o professor atenda aos modelos subjacentes, às situações que lhes estão associadas e aos números envolvidos. Contudo, mesmo tendo em conta estes aspetos pode acontecer que os alunos não os interpretem ou os usem do modo como o professor o planeou (Fosnot & Dolk, 2001b). Por exemplo, Dolk (2009) analisou as estratégias de dois grupos de alunos de uma turma na resolução de um problema numérico, cujo objetivo era posicionar os números na linha numérica. Um grupo resolveu a tarefa tal como era habitual ser colocada no manual, ou seja, com a reta numérica completa (com marcas visíveis entre os números que funcionam como referência para posicionar outros números). O outro grupo resolveu uma tarefa praticamente igual, mas partindo de uma reta semi-completa (apenas com as marcas correspondentes aos números que funcionam como referência). Apesar de este último grupo de alunos ter recorrido a uma maior diversidade de estratégias, ao contrário das expetativas deste autor, estas estratégias não revelam que os alunos se tenham apoiado nos números que funcionam como referência e nas relações que podem estabelecer com esses números. Sem a possibilidade de fazerem contagens um a um através das marcas que se habituaram a ter disponíveis na reta, os

alunos deste último grupo cometeram mais erros. Na perspetiva deste autor, isto acontece porque os alunos são influenciados pelas estratégias que usam habitualmente, quando são colocados em situações semelhantes. Efetivamente, neste caso, a mudança de modelo associada à tarefa não provocou mudanças nas resoluções dos alunos, prevalecendo o modo como costumam resolver tarefas do mesmo tipo (Dolk, 2009).