Os contributos de McIntosh, Reys e Reys

A Tabela 2.1 sintetiza o quadro de referência de análise do sentido de número proposto por McIntosh et al. (1992). A primeira coluna inclui três grandes áreas através das quais o sentido de número pode ser examinado: (i) o conhecimento e a destreza com os números, (ii) o conhecimento e a destreza com as operações e (iii) a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo. Cada uma de estas áreas subdivide-se em diversas componentes relacionadas com os números e/ou as operações, como mostra a segunda coluna da Tabela 2.1 Dado que, neste estudo, a análise dos aspetos mais diretamente relacionados com o sentido de número é orientada por este quadro de referência, irei, em seguida, descrever cada das componentes incluídas nas respetivas áreas, apresentando, sempre que considerar essencial, exemplos que permitam concretizá-las e que se ligam diretamente com os aspetos que constam na terceira coluna da mesma tabela.

Tabela 2.1 - Quadro de referência de análise do sentido de número proposto por McIntosh et al. (1992)

Conhecimento e destreza com os números

Sentido da ordenação dos números

Valor de posição

Relações entre tipos de números

Ordenação de números do mesmo tipo ou entre tipos de números

Múltiplas representações dos números

Gráficas/simbólicas

Formas numéricas equivalentes (incluindo decomposição/recomposição)

Comparação com números de referência Sentido das grandezas, relativa e

absoluta dos números

Comparação com referenciais físicos Comparação com referenciais matemáticos

Sistemas de valores de referência Matemáticos

Pessoais

Conhecimento e destreza com as operações

Compreensão do efeito das operações

Operações com números inteiros Operações com frações/decimais

Compreensão das propriedades matemáticas Comutativa Associativa Distributiva Identidades Inversas

Compreensão das relações entre as operações Adição/Multiplicação Subtração/divisão Adição/subtração Multiplicação/divisão Aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo

Compreensão para relacionar o contexto de um problema e os cálculos necessários

Reconhecimento de dados como exatos ou aproximados

Consciencialização que as soluções podem ser exatas ou aproximadas

Consciencialização da existência de múltiplas estratégias

Capacidade para criar e/ou inventar estratégias Capacidade para reconhecer estratégias diferentes Capacidade para selecionar uma estratégia eficaz Inclinação para usar

representações e/ou métodos eficazes

Facilidade com vários métodos (mentais, calculadoras, papel e lápis)

Facilidade para escolher números eficazes Inclinação para rever os dados e a

razoabilidade do resultado

Reconhecer a razoabilidade dos dados Reconhecer a razoabilidade dos cálculos

Conhecimento e destreza com os números. Esta área inclui: (i) o sentido de

ordenação dos números, (ii) as múltiplas representações dos números, (iii) o sentido das grandezas (absolutas e relativas) dos números e (iv) os sistemas de valores de referência.

O sentido de ordenação dos números engloba a compreensão do sistema indo-árabe, nomeadamente das suas características e do modo como este sistema se encontra organizado. Sendo um sistema posicional, numa fase inicial da aprendizagem dos números, implica perceber que os algarismos assumem um valor de posição no número, aspeto que

se relaciona com a capacidade de ordenar números do mesmo tipo e, posteriormente, de diferentes tipos e de os relacionar. Estes autores exemplificam estes aspetos tendo em conta as aprendizagens numéricas que os alunos vão realizando ao longo da sua escolaridade. Referem, por exemplo, que para as crianças efetuarem a contagem a partir de 20, quer oralmente quer graficamente, é fundamental apoiarem-se nos padrões identificados na contagem até 20. Também, ao explorarem os números decimais, os alunos podem reconhecer e repetir padrões quando contam de 0 a 10, por décimas, e, de 0 a 1, por centésimas. Estes exemplos ilustram também uma ideia importante associada ao sentido da regularidade dos números – quando os alunos compreendem a ordenação dos números e as regularidades do sistema de numeração, começam a usar esse conhecimento noutras situações.

O conhecimento e a destreza com os números envolvem, igualmente, conhecer múltiplas representações dos números. Esta componente relaciona-se com a compreensão do modo como os números surgem em diversos contextos e como podem ser expressos, gráfica e simbolicamente, de diferentes formas. Reconhecer que 2 + 2 + 2 + 2 é o mesmo que 4 × 2 e que 75% = 3/4 = 0,75 são alguns exemplos apresentados por estes autores para ilustrarem este aspeto. Salientam que esta capacidade pode ser útil para relacionar conceitos (por exemplo, o primeiro conjunto de representações envolve a relação entre as operações adição e a multiplicação) e para informar a escolha das que são mais úteis na resolução de um determinado problema (por exemplo, perante o reconhecimento do segundo conjunto de representações, o aluno poderá decidir qual delas se mostra mais fácil e útil de usar – neste caso, 75%, 3/4 ou 0,75). Recorrer a formas numéricas equivalentes, nomeadamente através da decomposição e recomposição dos números, é outro dos elementos caracterizadores desta componente e que se revela de grande utilidade em situações de cálculo. McIntosh et al. (1992) ilustram esta ideia, afirmando que nos primeiros anos de escolaridade, os alunos para efetuarem, por exemplo, 25 + 27 poderão recorrer à decomposição do número 27 em 25 + 2, adicionar 25 com 25, em seguida acrescentar 2, obtendo o resultado 52. Por fim, esta componente inclui também a capacidade comparar os números com sistemas de referência, que podem ser gráficos ou numéricos. Por exemplo, um aluno poderá pensar na fração 5/8 como parte de um círculo

(representação gráfica) ou, entre outras opções, compará-la com frações de referência, concluindo que é maior que 1/2 e menor que 3/4.

O sentido da grandeza relativa e absoluta dos números é outra das componentes associadas à área do conhecimento e destreza com os números. Diz respeito à capacidade de, perante números ou quantidades, reconhecer o seu valor relativamente a outros números ou quantidades. Para ilustrar esta ideia, McIntosh et al. (1992) referem, por exemplo, que uma criança do 3.º ano de escolaridade (cerca de 8 anos) poderá não ter a noção da ordem de grandeza da quantidade 1000. Para que possa adquirir esta noção, devem ser propostas situações em que surja este número em diversos contextos. Por exemplo, pode perguntar-se à criança, “viveste mais ou menos do que 1000 dias?” (p. 6) e “quanto tempo é necessário para contar até 1000?” (p. 6). Efetivamente, 1000 pode representar uma quantidade grande ou pequena de acordo com o contexto em que surge este número e o referencial que se adota. Na primeira situação, 1000 representa uma quantidade pequena relativamente ao número de dias que uma criança com esta idade já terá vivido. Contudo, se compararmos as duas situações e pensarmos que 1000 representa a quantidade de tempo, na primeira situação este número representa uma quantidade de tempo muito superior à que assume na segunda situação. A ideia central será, assim, dar oportunidade às crianças de refletirem sobre a grandeza dos números e das quantidades, tendo em conta o contexto em que eles surgem.

Por fim, o uso de sistemas de valores de referência é outra das componentes desta área. Essencialmente, esta componente implica olhar para os números e tomar decisões ou tirar conclusões através da sua comparação com outros números que servem de referência. Por exemplo, o reconhecimento que “a soma de dois números com dois algarismos cada um é inferior a 200, que 0,98 está perto de 1 ou que 4/9 é pouco menor que 1/2” (p. 6), ilustra o uso de valores de referência (200, 1 e 1/2, respetivamente), todos eles matemáticos. Podem, contudo, ser usados valores de referência pessoais. Por exemplo, uma pessoa que recorre ao valor do seu próprio peso para estimar o peso de outra pessoa, estará a usar uma referência pessoal. O uso de sistemas de valores de referência, quer sejam pessoais ou matemáticos, permite, assim, apoiar os raciocínios matemáticos,

facilitando a análise da razoabilidade de um determinado resultado em situações de cálculo, a análise da grandeza dos números e a realização de estimativas.

Conhecimento e destreza com as operações. McIntosh et al. (1992) identificam as

seguintes componentes associadas a esta área: (i) a compreensão do efeito das operações, (ii) a compreensão das propriedades matemáticas das operações e (iii) a compreensão das relações entre as operações.

A compreensão do efeito das operações relaciona-se com a conceptualização das operações e com a perceção do que sucede aos vários números quando são operados entre si. McIntosh et al. (1992) recorrem à operação multiplicação para ilustrar os aspetos que estão associados a esta componente. Afirmam que no trabalho em torno desta operação, numa fase inicial, é importante propor aos alunos diversas situações que envolvam adições sucessivas de uma mesma quantidade. Estas propostas ajudam os alunos a compreender a multiplicação enquanto operação e fornecem-lhes modelos que os ajudam a resolver situações semelhantes. Contudo, estes autores advertem para o facto de poderem surgir algumas generalizações incorretas quando se pensa na multiplicação como adições repetidas. Efetivamente, nem sempre o produto de dois números é superior ou igual aos seus fatores, dependendo do universo numérico que se está a considerar. Assim, no que respeita às operações em geral, é importante propor situações que permitam explorar vários modelos de cada uma delas, envolvendo diferentes tipos de números em diversos contextos.

A compreensão das propriedades matemáticas associadas às operações é outra das componentes essenciais do sentido de número. McIntosh et al. (1992) salientam a sua utilidade na realização de cálculos por parte dos alunos e criticam o facto de, frequentemente, estas lhes serem apresentadas como óbvias. Para estes autores, um aluno com bom sentido de número recorre às propriedades das operações para efetuar determinados cálculos. Por exemplo, “quando multiplica 36 × 4 mentalmente pode pensar: 4 × 35 e 4 × 1, em 140 + 4 ou em 144. Nesta situação aplica a comutatividade, ao alterar a ordem dos fatores para 4 × 36, e também usa a propriedade distributiva, ao decompor 4 × 36 em 4 × 35 + 4 × 1” (p. 7).

A compreensão das relações entre as operações contribui, sobretudo, para ampliar as possibilidades de resolução de problemas. Efetivamente, para resolver um problema ao qual está associada uma determinada operação, o aluno pode recorrer a diferentes estratégias que envolvem outras operações, de acordo com, o que em determinado momento, se sente mais confortável. Para ilustrar esta ideia, estes autores apresentam diferentes opções de resolução perante o seguinte problema: “Quantas rodas há em 8 triciclos?” (p. 7). Na verdade, os alunos podem efetuar 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3, 6 + 6 + 6 + 6, 8 × 3 ou 4 × 6, caminhos que, embora revelem graus de eficiência diferente, recorrem a diferentes operações e refletem um modo pessoal de pensar sobre o problema. Relativamente a problemas aos quais estão associados as operações subtração ou divisão, salientam, o poder do uso das respetivas operações inversas por, na maioria das vezes, constituírem formas mais fáceis de os resolver. Advertem, contudo, que estas opções não correspondem a uma falta de aptidão para usar uma determinada operação, mas, na verdade, resulta de uma escolha do aluno, que compreende a relação entre as operações e que entende ser mais ‘confortável’ fazê-lo. Realçam, ainda, a importância da compreensão da relação inversa entre as operações quando se ampliam os universos numéricos. Referem, por exemplo, a sua importância para a compreensão que multiplicar um número por 0,1 corresponde a dividir esse número por 10 e dividir um número por 0,1 equivale a multiplicar esse número por 10.

Aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em

situações de cálculo. Para esta área de análise do sentido de número, McIntosh et al.

(1992) propõem quatro componentes: (i) a compreensão para relacionar o contexto de um problema e os cálculos necessários, (ii) a consciencialização da existência de múltiplas estratégias, (iii) a inclinação para usar representações e/ou métodos eficazes e (iv) a inclinação para rever os dados e a razoabilidade do resultado.

A compreensão para relacionar o contexto de um problema e os cálculos necessários é uma componente fundamental do sentido de número dos alunos. Efetivamente, os contextos dos problemas fornecem pistas acerca da operação ou das operações que podem ser usadas, dos números que importam considerar, do tipo de números envolvidos (exatos ou aproximados) e do tipo de resultado que se pretende obter

(exato ou aproximado). Para ilustrar este conjunto de decisões, McIntosh et al. (1992) apresentam dois problema envolvendo preços de dois produtos. Se a questão for saber o dinheiro que se gasta para os comprar, o aluno terá de compreender que a resposta ao problema é um valor exato. Se a questão for saber se determinada quantia de dinheiro é suficiente para pagar os produtos, o aluno poderá optar por fazer uma estimativa do custo dos dois produtos (recorrendo a valores aproximados dos mesmos) e comparar com o dinheiro disponível. Isto não significa que, no primeiro problema, o aluno não possa recorrer a valores aproximados durante o seu processo de resolução. Na verdade, poderá optar por adicionar os valores dos preços dos produtos ou decidir recorrer a valores aproximados desses valores, adicioná-los e ao resultado retirar o valor do excesso das aproximações efetuadas. Naturalmente, estas decisões dependem dos números envolvidos no contexto do problema, podendo o aluno não sentir a necessidade de recorrer a valores aproximados. Tal como ilustram estes exemplos, a resolução de um problema envolve um conjunto de decisões que resultam da compreensão do contexto e do modo como cada um relaciona esse contexto com os cálculos a efetuar.

A consciencialização da existência de múltiplas estratégias é uma componente que se mostra fundamental em vários momentos da resolução de um problema, aos quais estão associadas três capacidades: (i) selecionar uma estratégia eficaz (ii) criar e/ou inventar estratégias, (iii) reconhecer estratégias diferentes. Quando um aluno com bom sentido de número toma as primeiras opções acerca da estratégia que vai seguir para resolver um determinado problema que envolve números, opta por aquela que, à partida, lhe parece mais apropriada (de acordo com o contexto do problema e as questões que lhe estão associadas) e que acredita ser eficaz. Contudo, durante o processo de resolução, esta estratégia pode mostrar-se ineficaz. Neste caso, esse aluno tenderá a reformular o caminho inicialmente escolhido, criando ou inventando outras estratégias. Quando após a sua resolução reflete sobre as opções tomadas, pode identificar vantagens e desvantagens da estratégia usada, reconhecendo, eventualmente, que existiriam outros caminhos de resolução do problema, também eles adequados. McIntosh et al. (1992) advertem que estes processos ocorrem porque o aluno tem sempre presente que existem várias opções que ele pode tomar e diferentes caminhos que pode seguir, pelo que, nesta componente “a ênfase

está na consciência geral que existem diferentes estratégias, mais do que no processo metacognitivo de escolher, executar e rever os vários resultados” (p. 8).

A inclinação para usar representações e/ou métodos eficazes é outra das componentes que carateriza um aluno com bom sentido de número e está intimamente ligada com a consciência da existência de múltiplas estratégias para resolver um problema que envolve números. Efetivamente, de entre várias estratégias, um aluno nestas condições, escolhe uma que é eficaz, optando por métodos de cálculo que se mostram apropriados (que podem ser mentais, com recurso à calculadora ou ao papel e lápis), mostrando facilidade em utilizar estes métodos e em escolher números eficazes/adequados. Esta apetência relaciona-se com as experiências anteriores e deve ser analisada tendo em conta o nível de escolaridade dos alunos. Por exemplo, um aluno do 2.º ano de escolaridade que, para efetuar 8 + 7, em vez de contar um a um a partir de um dos números, opte por efetuar mentalmente 7 + 7 + 1, justificando que 7 + 7 é 14, mostra ter um bom sentido de número. Este aluno usou um conhecimento que adquiriu anteriormente (7 + 7 = 14) e um método eficaz de cálculo. McIntosh et al. (1992) afirmam que um aluno com um sentido de número pouco desenvolvido tenderá a recorrer sempre ao mesmo método de cálculo, por falta de segurança em outros métodos ou por não os conhecer. Em contrapartida, um aluno com bom sentido de número mostra confiança em usar diferentes métodos de cálculo, consoante os números envolvidos.

Por fim, de entre as componentes da terceira área, McIntosh et al. (1992) incluem ainda a inclinação para rever os dados e a razoabilidade do resultado. Trata-se de ter a tendência e de ser capaz de analisar os resultados a que se chegou e os cálculos efetuados, mediante o problema que foi proposto. De acordo com estes autores, apesar de esta reflexão fazer parte do processo de resolução de problemas, geralmente, os alunos tendem a não se envolver nele, por não considerarem importante o resultado a que chegaram para a resolução de uma situação prática e imediata.