Os tipos de tarefas matemáticas

O modo como se analisam as tarefas matemáticas, ou seja, os elementos que constituem a base dessa análise, tem dado origem a diferentes tipologias de caracterização de tarefas. Ponte (2005) considera que existem quatro elementos que permitem diferenciar as tarefas: o grau de desafio matemático, o grau de estrutura, o contexto e a duração. Cruzando os dois primeiros elementos, este autor considera que existem quatro tipos básicos de tarefas: exercícios, problemas, investigações e tarefas de exploração (Figura 4.1).

O grau de desafio matemático de uma tarefa “relaciona-se de forma estreita com a percepção da dificuldade de uma questão” (Ponte, 2005, p. 7) variando entre o ‘reduzido’ e o ‘elevado’. Quanto ao grau de estrutura, as tarefas são consideradas ‘fechadas’ quando é

explícito o que é dado e o que é pedido. Se um destes aspetos ou ambos apresentarem “um grau de indeterminação significativo” (p. 8), as tarefas são ‘abertas’ (Ponte, 2005).

Da análise do esquema proposto por Ponte (2005) (Figura 4.1), os exercícios são caracterizados como tarefas de desafio reduzido e apresentam uma estrutura fechada. Os problemas são também tarefas que têm uma estrutura deste tipo, mas com um grau de desafio elevado. Tal como os problemas, as investigações apresentam um grau de desafio elevado para os alunos, contendo, no entanto, uma estrutura aberta. Finalmente, as tarefas de exploração são tarefas que não constituem um desafio elevado para os alunos mas, tal como as investigações, apresentam uma estrutura aberta.

Figura 4.1 - Relação entre diversos tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de abertura (Ponte, 2005)

Para além desta categorização, encontramos em muitos materiais curriculares a referência a exercícios de aplicação, problemas de aplicação, tarefas de modelação e projetos. Ponte (2005) recorre aos elementos duração e contexto da tarefa para distinguir estes tipos de tarefas dos que foram caracterizados anteriormente. Os projetos, tal como as investigações, apresentam um grau de desafio elevado e uma estrutura aberta. Contudo, é uma tarefa de longa duração, o que permite distingui-la de uma investigação (Ponte, 2005). Para analisar as restantes designações de tarefas, Ponte (2005) refere-se ao contexto que lhes está associado. Para este autor, o contexto de uma tarefa pode ser real, puramente matemático ou, utilizando a designação apresentada por Skovsmose (2000), semirreal. Os contextos semirreais correspondem a “situações que à primeira vista parecem reais, mas que na prática são abstratas, pois nelas não há que atender às propriedades dos objetos exceto aquelas que o contrato didático indica serem relevantes para a respetiva resolução”

(Ponte, 2003, p. 6). Para este autor os exercícios de aplicação, problemas de aplicação e tarefas de modelação, são tarefas que tendem a apresentar, na sua designação, um determinado grau de proximidade com a realidade. Contudo, dependendo das suas características em termos do grau de desafio e da sua estrutura, poderão ser classificadas dentro dos quatro tipos básicos de tarefas referidos anteriormente.

Pela importância que a resolução de problemas tem assumido nos currículos, tanto internacionais como nacionais, o que se entende por problema tem merecido uma atenção especial por parte de alguns autores. Por exemplo, Pehkonen (1987), para tentar clarificar o que são problemas abertos (open-ended problems), apresenta a tabela da Tabela 4.1 que se baseia na análise de dois parâmetros – a situação de partida e o objetivo da situação.

Tabela 4.1 - Classificação de problemas de acordo com a sua situação de partida e o seu objetivo (Pehkonen, 1987)

Objetivo da situação Situação de partida

FECHADO

(i.e. totalmente explicado) ABERTO

FECHADA

(i.e. totalmente explicada) Problemas fechados

- Problemas abertos - Situações da vida real - Investigações - Problem fields

- Variações do problema

ABERTA Problemas da vida real

Variantes do problema

- Situações da vida real - Variações do problema - Projetos

- Formulação de problemas

Pehkonen (1987) considera que os problemas abertos, as investigações e os problem fields (entendidos pelo autor como uma sequência de problemas relacionados entre si), constituem tarefas que apresentam uma grande proximidade. Na verdade, pertencem todas ao mesmo grupo de tarefas, por possuírem situações de partida fechadas mas em que o objetivo associado à situação é aberto. É de salientar que, ao contrário de Ponte (2005), a caracterização de investigação de Pehkonen (1987) não inclui a dimensão da formulação de problemas, sendo esta considerada uma tarefa com estatuto próprio cuja situação de partida e seu objetivo são ambos abertos.

Para Brocardo (2001), a definição de investigação apresentada por Pehkonen (1997) parece cingir-se às tarefas escritas ou orais que são colocadas aos alunos, por ter “apenas a consideração das características da situação de partida e de chegada” (p. 97).

Também Ponte et al. (1999) criticam este modelo por se centrar nas tarefas enquanto propostas e não nas atividades que elas podem desencadear. Concretamente, “no caso das investigações é redutor identificá-las simplesmente com a tarefa que dá origem à atividade uma vez que a ideia mais fundamental é que a investigação esteja centrada no aluno” (p. 15). Efetivamente, é durante a atividade de investigação que o aluno vai colocando ou recolocando questões que o podem encaminhar para direções não previstas à partida.

A distinção entre exercício e problema tem sido, também, alvo de alguma discussão. Por exemplo, para Borasi (1986) um exercício corresponde a uma tarefa que não tem um contexto associado, apresenta uma formulação única e explícita, normalmente implica uma solução única e exata, e os métodos de abordagem incluem uma combinação do uso de regras e algoritmos já conhecidos. Os problemas de palavras apresentam todas estas características diferindo apenas no contexto, que segundo esta autora, é explícito no enunciado. Abrantes (1989) adverte que esta distinção pode ser enganadora, porque quando este tipo de tarefas é proposto com alguma frequência podem ser facilmente transformados em “exercícios disfarçados, nos quais o contexto do enunciado acaba por ser irrelevante” (p. 8). Também a categorização de tarefas proposta por Ponte (2005), apresentada anteriormente, não atribui a existência de um contexto como um elemento importante na distinção entre exercício e problema, afirmando que “não é pelo facto de uma questão ser ou não colocada num contexto extra-matemático que ela é um exercício ou um problema” (p. 4). Como referi anteriormente, para este autor esta distinção relaciona-se com existência, ou não, de um processo imediato de resolução por parte do aluno.

Smith e Stein (1998) apresentam uma categorização das tarefas baseada no tipo e no nível de pensamento exigido aos alunos para as resolverem. Para estas autoras, as tarefas matemáticas diferenciam-se tendo em conta quatro níveis de exigência cognitiva: (i) memorização, (ii) procedimentos sem conexões com o significado, (iii) procedimentos com conexões com o significado e (iv) fazer matemática. Os dois primeiros correspondem a níveis mais baixos de exigência cognitiva. As tarefas que se situam no nível da memorização são tarefas que “não podem ser resolvidas através do uso de procedimentos, porque não existe um procedimento ou porque o tempo que é atribuído para a tarefa ser

completada é demasiado curto para usar um procedimento” (Smith & Stein, 1998, p. 348). Envolvem, sobretudo, a reprodução de factos aprendidos, regras, fórmulas ou definições para memorizar e não estabelecem conexões com os conceitos ou significados subjacentes a estes aspetos. São tarefas pouco ambiciosas do ponto de vista da aprendizagem dos alunos dado que, por vezes, “envolvem a reprodução exacta de material já visto e o que tem de ser reproduzido é claro e directamente afirmado” (idem, p. 348).

As tarefas que se baseiam no uso de procedimentos sem conexões com o significado, tal como as anteriores, requerem um nível de exigência cognitiva limitado por parte dos alunos, não transmitem grande ambiguidade acerca do que deve ser feito e também não permitem estabelecer conexões entre os conceitos ou significados subjacentes e, neste caso, os procedimentos usados (Smith & Stein, 1998). São tarefas “algorítmicas” (p. 348), no sentido de se pretender que o aluno aprenda a usar um determinado procedimento ou que use procedimentos aprendidos em aulas anteriores. Requerem, eventualmente, explicações do professor focadas na descrição do procedimento usado e revelam a preocupação com a obtenção da ‘resposta certa’ em vez do desenvolvimento da compreensão matemática (Smith & Stein, 1998).

As tarefas que se enquadram nas categorias procedimentos com conexões com o significado e fazer matemática são tarefas com níveis de exigência cognitiva mais elevados (Smith & Stein, 1998). Ao contrário das anteriores, as que têm como objetivo desenvolver procedimentos com conexões com o significado focam a atenção dos alunos na aprendizagem de processos e modos de representação com o propósito de desenvolver a compreensão de ideias e conceitos matemáticos. Incluem, normalmente, diferentes representações (diagramas visuais, materiais manipuláveis, situações problemáticas, etc.) que facilitam o desenvolvimento de significados. Ao contrário das tarefas ditas ‘algorítmicas’, sugerem implícita ou explicitamente, caminhos para chegar a procedimentos gerais, tendo subjacentes as ideias e os conceitos matemáticos (Smith & Stein, 1998). Por sua vez, as tarefas que se situam no nível fazer matemática não sugerem qualquer caminho, instruções ou exemplificações. São tarefas que requerem um pensamento mais complexo na medida em que exigem a compreensão e a exploração da natureza dos conceitos matemáticos, dos processos ou de relações (Smith & Stein, 1998).

Para resolver este tipo de tarefas os alunos têm de recorrer, de modo apropriado, ao seu conhecimento e experiências anteriores e ser capazes de analisar aspetos da tarefa que possam limitar possíveis estratégias e soluções (Smith & Stein, 1998).