O po¸ co quadrado finito - Algumas consequˆ encias do Princ´ıpio de Incerteza

5.7 Algumas consequˆ encias do Princ´ıpio de Incerteza

6.1.4 O po¸ co quadrado finito

Como vimos, a quantiza¸cão de energia aparece naturalmente na solu¸cão da Equa¸cão de Schrödinger. Este fato é comum a todas as part´ıculas confinadas, como será exemplificado a seguir para o caso do po¸co quadrado finito. A diferen¸ca entre o po¸co quadrado infinito (discutido anteriormente) e o po¸co quadrado finito está apenas no valor do potencial (V (x)) que é infinito no primeiro caso e assume um valor fixo (Vo) no segundo.

Figura 6.4: Representa¸c˜ao de um po¸co quadrado infinito de lado L.

Um fato importante relacionado ao po¸co quadrado finito são as diferentes solu¸cões obtidas para a Equa¸cão de Schrödinger dependendo da energia total da part´ıcula E ser maior ou menor do que o potencial da barreira Vo. No caso E > V o, a

part´ıcula não está confinada, o que equivale a dizer que a quantiza¸cão da energia não poderá ser percebida e, aparentemente, qualquer valor de energia será permitido. Discutiremos

esse caso detalhadamente mais adiante. Por hora, analisaremos apenas o que ocorre quando E < Vo, ou seja, trataremos de uma part´ıcula que classica-

mente estaria confinada em uma região compreendida entre 0 e L. No interior do po¸co a solu¸cão da equa¸cão de Schrödinger é idêntica a do po¸co infinito:

dx2ψ(x) = −

2mE ~2

ψ(x) = −k2ψ(x), (6.15)

onde k ´e o n´umero de onda.

As solu¸cões são senos e cossenos, como vimos anteriormente. Todavia, não podemos mais impor a condi¸cão de contorno ψ(x = 0) = ψ(x = L) = 0, já que não existe mais o v´ınculo de que a probabilidade de se encontrar o elétron nos pontos x ≤ 0 e x ≥ L seja nula. Ocorre que as condi¸cões sobre a fun¸cão de onda devem ser obedecidas para qualquer problema em análise. Nesse caso,

114 Miotto e Ferraz Introdu¸cão à Mecânica Quântica usamos o fato de que a fun¸cão de onda e sua primeira derivada devem ser cont´ınuas em todos os pontos, inclusive em x = 0 e x = L.

Se já conhecemos a solu¸cão do problema dentro do po¸co de potencial, resta agora determiná-la fora do po¸co, ou seja, para 0 > x > L. Fora do po¸co, a equa¸cão de Schrödinger deve ser escrita como:

d2 dx2ψ(x) = 2m(Vo− E) ~2 ψ(x) = α2ψ(x), (6.16) onde α2₌2m(Vo−E) ~2 > 0.

O m´etodo direto para encontrar as fun¸c˜oes de onda e energias permitidas para esse problema 7 _´_{e resolver a Equa¸}_c˜_{ao de Schr¨}_{odinger dentro e fora do}

po¸co e impor que a fun¸cão de onda e sua primeira derivada em rela¸cão à x sejam cont´ınuas em x = 0 e x = L.

Figura 6.5: Representa¸cão de poss´ıveis solu¸cões para o po¸co quadrado finito. Na região fora do po¸co, a solu¸cão

da equa¸cão 6.16 tem a forma ψ(x) = Ce−αx, onde C é uma constante e consideramos apenas x > 0. Resta- nos impor a condi¸cão de continuidade e resolver o problema analitica- mente. Apesar de poss´ıvel, o método direto é bastante trabalhoso. Ao invés de tomar este caminho, vamos fazer uma análise desta solu¸cão. En- quanto dentro do po¸co o limite da fun¸cão de onda quando x tende a um número muito grande é, em módulo, zero (ou seja, limx→∞ψ(x) = 0),

fora do po¸co, esse limite tende a infinito. Esse fato pode ser verificado fa- cilmente se observarmos que o sinal da segunda derivada espacial da fun¸cão de onda (que está ligada a curvatura da fun¸cão) é positivo (negativo) quando a fun¸cão de onda é positiva (negativa), ou seja, a fun¸cão de onda se afasta do eixo. Dessa forma, para a maioria dos valores de energia a fun¸cão de onda não é bem comportada e não pode ser normalizada (lembre-se a normaliza¸cão impõe que a fun¸cão de onda seja limitada). Para uma energia E = _2mp2 =_2mλh22,

teremos, por exemplo, para λ = 4L uma fun¸cão que tem a forma dada pela figura 6.5. Todavia, como a fun¸cão de onda deve ser normalizada, só os valores do comprimento de onda que tornam a fun¸cão bem comportada, como as representadas na parte inferior da figura 6.5, são admitidos .

Note que, em contraste com o caso clássico, há alguma probabilidade de encontrar a part´ıcula fora da caixa. Nessas regiões, a energia total é menor que

7_{Esse ´}_{e de fato o m´}_{etodo direto para a solu¸}_c˜_{ao de qualquer problema que apresenta formas}

funcionais diferentes para o potencial em diferentes regiões espaciais: escreve-se a Equa¸cão de Schrödinger para as diversas regiões, obtém-se a solu¸cão para cada região diferente. As constantes de normaliza¸cão serão obtidas utilizando a continuidade da fun¸cão de onda e de sua primeira derivada nos limites das regiões consideradas.

6.1 A equa¸cão de Schrödinger Miotto e Ferraz 115 a energia potencial. Assim, pareceria a primeira vista, ser a energia cinética negativa. Como não há, na f´ısica clássica, significado para energia cinética negativa, como podemos interpretar essa penetra¸cão da fun¸cão de onda na região da barreira? Será que podemos medir energias cinéticas negativas na Mecânica Quântica? Em caso positivo, haveria grande falha na teoria, pois estar´ıamos desrespeitando o Princ´ıpio de Complementariedade de Bohr. Fe- lizmente, o Princ´ıpio de Incerteza de Heisenberg nos permite explicar essa aparente contradi¸cão. Vamos compreender esse fato qualitativamente para a região x > L. Como a fun¸cão de onda decresce segundo e−αx, o módulo ao quadrado da fun¸cão de onda também é uma exponencial (e−2αx_{), que se torna}

muito pequena numa distˆancia da ordem de ∆x ' α−1_{. Se considerarmos}

que o módulo da fun¸cão de onda é desprez´ıvel em qualquer ponto além de x = L + α−1, poderemos dizer que encontrar a part´ıcula na região x > L é grosseiramente equivalente a localizá-la na região ∆x ' α−1. Tal medida introduz uma incerteza no momento da ordem de ∆p ' ~

∆x = ~α, e uma

energia cin´etica m´ınima da ordem de (∆p)_2m2 ' ~2α2

2m . Mas, por defini¸c˜ao (vide

equa¸c˜ao 6.16) α2₌ 2m(Vo−E)

~2 , ou seja, ~2α2

2m = Vo− E. Essa incerteza m´ınima

na energia cinética é suficiente para evitar que uma medida desta grandeza seja negativa. A penetra¸cão da fun¸cão de onda em uma região classicamente proibida tem consequências importantes no tunelamento (ou penetra¸cão de barreiras), como veremos a seguir.

Quer saber mais? Aplica¸c˜oes

A maior parte da nossa discussão acerca do problema do po¸co quadrado finito se aplica a qualquer problema em que E < V (x) em alguma região e E > V (x) fora daquela região. Considere um potencial arbitrário V (x) com formato parabólico (essa é uma primeira aproxima¸cão para o potencial de intera¸cão entre dois átomos, vide por exemplo, http://www.cepa.if.usp.br/e-fisica/mecanica/ universitario/cap09/cap09_38.htm). No interior do po¸co, a Equa¸cão de Schrödinger tem a forma d2x

dx2ψ(x) = −k

2_{ψ(x), onde}

k2₌2m[E−V (x)]

~2 depende explicitamente de x. As solu¸c˜oes dessa equa¸c˜ao

não são fun¸cões simples do tipo seno e cosseno, porque o número de onda varia com x. Todavia, uma vez que a fun¸cão de onda (ψ(x)) e sua segunda derivada em rela¸cão a x (ψ00(x)) tem sinais opostos, ψ(x) necessariamente irá se curvar em dire¸cão ao eixo, e as solu¸cões oscilarão. Fora do po¸co, ψ(x) irá se curvar afastando-se do eixo, de sorte que haverá somente certos valores de E para os quais existem solu¸cões que se aproximam de zero quando x é um número muito grande. Observe que a quantiza¸cão da energia (nem todos os valores de E são permitidos) mais uma vez decorreu da solu¸cão da Equa¸cão de Schrödinger sem que houvesse a necessidade de qualquer postulado ou suposi¸cão.

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