O modelo de Bohr - Ronei_fisica

Figura 4.11: Os estados estacionários previstos pelo modelo de Bohr e os processos de emissão e absor¸cão de energia. O f´ısico dinamarquês Niels Bohr

propˆos, em 1913, um modelo do ´

atomo de hidrogˆenio34 _{que, combi-}

nado com os trabalhos de Planck, Einstein e Rutherford, teve sucesso extraordinário reproduzindo o espectro observado experimentalmente. Bohr, que havia trabalhado no labo- ratório de Rutherford durante as ex- periências de Geiger e Marsden, for- mulou a hipótese de que o elétron no átomo de hidrogênio movia-se em uma órbita ao redor do núcleo posi- tivo, sujeito à atra¸cão eletrostática.

Nesse sistema, a mecˆanica cl´assica

prevê que órbitas circulares ou el´ıpticas serão estáveis. Bohr escolheu, por simplicidade, órbitas circulares. Todavia, já vimos que esse modelo leva ao colapso dos elétrons no núcleo e produz um espectro cont´ınuo de radia¸cão,

34_{On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I, Philosophical Magazine 26, 1}

4.4 O modelo de Bohr Miotto e Ferraz 75

Figura 4.12: A explica¸cão de Bohr para o processo de absor¸cão de luz nos experimentos com gases: o elétron passa de um estado estacionário para outro absorvendo um fóton de energia.

o que é incompat´ıvel com os resultados experimentais dispon´ıveis. Essa difi- culdade foi resolvida por Bohr postulando que o elétron poderia mover-se em certas órbitas sem irradiar. Essas órbitas estáveis foram por ele denominadas estados estacionários. Ele admitiu, ainda, que o átomo irradia quando realiza uma transi¸cão de um estado estacionário para outro (ver figura 4.11) e que a frequência da radia¸cão emitida não está relacionada com o movimento em ne- nhuma das órbitas estáveis, mas sim com a energia das órbitas: hν = Ei− Ef,

onde h é a constante de Planck e Eie Ef são as energias totais para as órbitas

inicial e final. Essa hipótese, que é equivalente à de conserva¸cão de energia com a emissão de um fóton, tem papel fundamental na nova teoria, pois se afasta da teoria clássica que requer que a frequência da radia¸cão seja igual a do movimento da part´ıcula carregada.

De forma análoga, o processo de absor¸cão de luz ocorreria quando um fóton excita um elétron, que passa de um estado com energia mais baixa para um estado de energia mais alta (ver figura 4.12). Observe que durante os processos de absor¸cão e emissão a energia dos fótons envolvida não é arbitrária, mas sim um número inteiro de unidades de hν. Isso significa que a energia dos elétrons em um átomo é quantizada .

Para determinar o raio das órbitas permitidas (não irradiantes) Bohr in- troduziu uma hipótese adicional que é conhecida como Princ´ıpio da Cor- respondência: No limite de órbitas grandes e de grandes energias, cálculos quânticos devem concordar com cálculos clássicos.

O Princ´ıpio da Correspondência afirma que quaisquer que sejam as modi- fica¸cões da F´ısica Clássica feitas para descrever a matéria a n´ıvel microscópico, quando os resultados obtidos são estendidos ao mundo macroscópico, eles devem concordar com os previstos pelas Leis da F´ısica Clássica, já que essas

76 Miotto e Ferraz Modelos Atômicos foram exaustivamente verificadas no dia a dia. Muito embora o modelo de- talhado de Bohr para o átomo de hidrogênio tenha sido superado pela Teoria Quântica, suas hipóteses sobre a emissão e absor¸cão da radia¸cão e o Princ´ıpio da Correspondência permanecem como caracter´ısticas essenciais da Nova Te- oria.

Bohr, no seu primeiro artigo, em 1913, mostrou que seus postulados acar- retavam em um momento angular do elétron, no átomo de hidrogênio, que somente poderia assumir valores que são múltiplos inteiros da constante de Planck dividido por 2π, isto é, o momento angular é quantizado, podendo somente assumir os valores nh

2π = n~, onde n ´e um n´umero inteiro.

A expressão obtida por Bohr relacionando a frequência de emissão (ou absor¸cão) de um fóton quando um elétron muda de um estado estacionário para outro com o raio do estado estacionário ocupado pelo elétron

ν = Ei− Ef h = − 1 2kZe 2 1 ri − 1 rf , (4.3)

foi de fundamental importância para a grande aceita¸cão do modelo de Bohr, já que a partir dela é poss´ıvel obter um conjunto de grandezas medidas experimentalmente, como veremos a seguir.

Usando a quantiza¸cão do raio da órbita (vide Detalhes Matemáticos: A quantiza¸cão do momento angular) e a expressão para a frequência, obtemos facilmente uma expressão para similar àquela obtida por Rydberg-Ritz:

hν hc = Z2_mk2_e4 4πc~3 1 n2 f − 1 n2 i ! → 1 λ= Z 2_R 1 n2 f − 1 n2 i ! , (4.4)

onde R =mk_4πc~2e34 deve concordar com a constante de Rydberg.

Bohr calculou R usando os valores de m, e, c e ~ conhecidos em 1913, e o resultado concordou razoavelmente bem com o valor da constante de Ryd- berg obtido pela espectroscopia. Além disso, Bohr enfatizou em seu trabalho original que essa equa¸cão poderia ser de valia para a determina¸cão de melho- res valores para as constantes m, e e ~ devido à extrema precisão poss´ıvel na medida de R, o que de fato aconteceu. Os valores poss´ıveis para a energia do ´

atomo de hidrogˆenio, conforme previsto pelo modelo de Bohr s˜ao dados por: En= − mk2_e4_Z2 2~2_n2 = −Z 2E0 n (4.5) onde E0= mk 2_e4_Z2 2~2 = 13,6 eV.

Os n´ıveis de energia são convenientemente indicados pelo diagrama de n´ıveis de energia exemplificado na figura 4.13. As setas verticais indicam as transi¸cões entre os n´ıveis de energia. A frequência pode ser obtida através da Equa¸cão de Bohr 4.3 e a energia de ioniza¸cão (ou de liga¸cão) é a energia re- querida para remover o elétron do átomo. No caso do hidrogênio essa energia é de 13,6 eV.

4.4 O modelo de Bohr Miotto e Ferraz 77

Figura 4.13: Diagrama de n´ıveis de energia para o átomo de hidrogênio conforme a previsão de Bohr. As setas verticais indicam as transi¸cões entre os n´ıveis de energia. As séries espectrais de Balmer e Paschen já eram conhecidas então. As séries de Lyman (1916), Brackett (1922) e Pfund (1924) corrobora- ram as previsões de Bohr.

78 Miotto e Ferraz Modelos Atômicos A excelente concordância entre as previsões teóricas de Bohr e os espectros obtidos anos depois por Brackett foram grandes triunfos para o modelo de Bohr. Suas previsões também se mostraram adequadas para átomos hidro- genóides (He+_{, por exemplo), mas n˜}_{ao eram apropriadas para outros elementos}

neutros que n˜ao o hidrogˆenio.

Detalhes Matem´aticos: O modelo de Bohr

Ao invés de seguir a dedu¸cão de Bohr baseada no Princ´ıpio da Correspondência, usa- remos a conclusão fundamental da quantiza¸cão do momento angulara _{para encontrar}

sua expressão para os espectros observados. Se a carga nuclear é Ze, onde e é a carga do elétron, a energia potencial a uma distância r vale V = −kZe_r2, onde k = _4π1

0 ´e a

constante de Coulomb. A energia total do el´etron que se move em uma ´orbita circular com velocidade v pode ser escrita como E = 1₂mv2_{+ V =} 1

2mv 2₋kZe2

r . A energia

cinética pode ser obtida como uma fun¸cão da posi¸cão usando a Segunda Lei de New- ton. Igualando a for¸ca atrativa de Coulomb com a massa vezes a acelera¸cão centr´ıpeta temos: kZe_r22 = mv 2 r ou alternativamente 1 2 kZe2

r2 = 12mv2. b Dessa forma, podemos

escrever a energia do sistema como

E = −1 2

kZe2

r (4.6)

Considerando o primeiro postulado de Bohr, teremos ν = Ei− Ef h = − 1 2kZe 2 1 ri − 1 rf , (4.7) onde rie rf correspondem aos raios inicial e final dos estados estacion´arios ocupados

pelo elétron antes e após a sua transi¸cão.

a_{A quantiza¸}_c˜_{ao do momento angular ´}_{e muitas vezes apresentada como um dos pos-}

tulados de Bohr. Todavia, esse resultado foi obtido por Bohr a partir do postulado de conserva¸c˜ao de energia e do Princ´ıpio da Correspondˆencia.

b_{Note que esse resultado equivale a dizer que para ´}_{orbitas circulares, a energia}

cinética é igual à metade do módulo da energia potencial. De fato esse é um resultado que vale para o movimento circular sujeito a qualquer campo de for¸ca que varia com o inverso do quadrado da distância.

Detalhes Matem´aticos: A quantiza¸c˜ao do momento angular

A seguir apresentamos um dedu¸cão simplificada da quantiza¸cão do raio da órbita do ´

atomo de hidrogênio. O momento angular de uma part´ıcula que se move em uma trajetória circular é mvr. Igualando-o a um número inteiro (n) multiplicado pela razão

2π = ~, obtemos mvr = n~ e o número inteiro é chamado de número quântico, ou

seja, de acordo com Bohr o momento angular ´e uma grandeza quantizada. Usando o fato de que 1₂kZe_r22 =

1 2mv

2 _{e mvr = n~, podemos obter uma condi¸c˜}_{ao quˆ}_{antica para}

r eliminando a velocidade: v2= n 2 ~2 m2_r2 = kZe2 mr → r = n2 ~2 mkZe2 = n2_a 0 Z , (4.8) onde a0= ~ 2

mke2 = 0,529177 ˚A ´e conhecido como Primeiro Raio de Bohr e coincide com

4.4 O modelo de Bohr Miotto e Ferraz 79

4.4.1 Aplica¸c˜ao do Princ´ıpio da Correspondˆencia

De acordo com o Princ´ıpio da Correspondência, quando os n´ıveis de energia estão muito próximos, a quantiza¸cão deveria ser impercept´ıvel e os cálculos quânticos e clássicos deveriam fornecer o mesmo resultado. Uma inspe¸cão do diagrama de n´ıveis de energia mostra que os estados de energia estão muito mais próximos quando n é grande, o que nos leva a possibilidade de enunciar o Princ´ıpio da Correspondência de uma forma ligeiramente diferente: na região de números quânticos muito grandes, os cálculos clássicos e quânticos devem levar aos mesmos resultados.

Para ilustrar esse conceito, vamos comparar os resultados cl´assicos para o ´

atomo de hidrogênio com àqueles obtidos pelo modelo de Bohr. Suponha uma transi¸cão entre um n´ıvel ni= n (onde n → ∞) e um n´ıvel nf = n − 1:

ν = c λ = Z2_mk2_e4 4π~3 ₁ (n − 1)2− 1 n2 =Z 2_mk2_e4 4π~3 _{2n − 1} n2_{(n − 1)}2 . Como n tende a infinito, ent˜ao podemos fazer as seguintes aproxima¸c˜oes: 2n − 1 ∼ n e (n − 1)2_{∼ n}2_{. Logo,} ν = Z 2_mk2_e4 4π~3 2 n3 . (4.9)

Classicamente, a frequência de revolu¸cão do elétron pode ser determinada como νrev = _2πrv , onde v é a velocidade. Por outro lado, utilizando a quan-

tiza¸c˜ao do momento angular v = n~

mr ou alternativamente r = n2~2 mkZe2. Logo, νrev= n~ mr 2πr = n~ 2πmr2 = n~ 2πm n2~2 mkZe2 = Z2_mk2_e4 4π~3 2 n3 , (4.10)

que é exatamente o mesmo resultado obtido a partir da expressão de Bohr (equa¸cão 4.9).

4.4.2 Extens˜oes do Modelo

Uma extensão natural do modelo de Bohr é o tratamento de órbitas el´ıpticas. De acordo com a Mecânica Clássica, para um campo de for¸ca do tipo inverso do quadrado da distância, a energia de uma part´ıcula efetuando um movimento orbital depende somente do eixo maior da elipse e não de sua excentricidade. Consequentemente, se a Mecânica Newtoniana não for modificada e a for¸ca considerada variar com o inverso do quadrado da distância, não se esperam varia¸cões na energia do sistema com varia¸cões na excentricidade da órbita. A. Sommerfeld35_{considerou o efeito da relatividade especial}36_{no modelo de Bohr.}

Como as corre¸c˜oes relativ´ısticas deveriam ser da ordem de v2

c2, esperava-se que

35_{Atombau und Spektrallinien, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1919).} 36_{Ver Cap´ıtulo de Relatividade para maiores detalhes.}

80 Miotto e Ferraz Modelos Atˆomicos ´

orbitas com maior excentricidade teriam corre¸cões maiores, pois a velocidade do elétron aumenta quando ele se aproxima do núcleo37_{. Vamos estimar a}

ordem de grandeza das corre¸cões relativ´ısticas evitando a complexidade dos cálculos de Sommerfeld. Para n = 1 a conserva¸cão do momento angular impõe mvr = ~. Considerando a primeira órbita do átomo de hidrogênio ao= ~

2 mke2 obtemos: v = ~ ma0 = ~ m ~2 mke2 =ke 2 ~ → v c = ke2 c~ = 1 137. (4.11)

Ora, muito embora a raz˜ao v2

c2 seja muito pequena, um efeito de tal inten-

sidade seria observável. De fato, em experimentos de alta resolu¸cão é poss´ıvel verificar que algumas linhas espectrais do hidrogênio são compostas por várias linhas muito próximas. Na teoria de Sommerfeld, esse resultado é explicado da seguinte maneira: a cada órbita circular de raio rn e energia En correspon-

dem m poss´ıveis órbitas el´ıpticas de mesmo eixo maior, mas com diferentes excentricidades, o que resultaria em energias ligeiramente diferentes. A energia irradiada quando o elétron muda de órbita, depende das órbitas inicial e final, bem como de seus eixos maiores. A separa¸cão dos n´ıveis de energia é chamada separa¸cão de estrutura fina, e a constante α = ke_c~2 = ₁₃₇1 de constante de estrutura fina38_{. Muito embora a explica¸c˜}_{ao de Sommerfeld n˜}_{ao forne¸}_{ca uma}

imagem correta, ela é extraordinária, pois o resultado de seu cálculo concorda perfeitamente não só com a experiência, mas também com cálculos detalhados baseados na Equa¸cão Relativ´ıstica de Dirac (não tratada neste curso), que inclui efeitos devido ao spin.

No documento Ronei_fisica_quantica (páginas 84-90)