Vocˆe j´a deve ter notado que nossa defini¸c˜ao da energia dos estados eletrˆoni- cos do ´atomo de hidrogˆenio s´o depende do n´umero quˆantico n. Esse fato tem uma consequˆencia muito importante: o n´ıvel de energia correspondente a n = 2 est´a relacionado a quatro estados distintos: Ψ2,0,0(r,θ,φ), Ψ2,1,0(r,θ,φ),
Ψ2,1,−1(r,θ,φ), e Ψ2,1,1(r,θ,φ). Em outras palavras, esses quatro estados s˜ao
degenerados, isto ´e, tˆem n´umeros quˆanticos diferentes, mas o mesmo valor de energia. Os n´ıveis de energia podem ser observados com grande precis˜ao em ex- perimentos de excita¸c˜ao de gases (o g´as ´e excitado e emite radia¸c˜ao, analisada atrav´es de um espectrosc´opio). Nesses experimentos, verifica-se que as raias espectrais relacionadas com o n´umero quˆantico n = 2 n˜ao s˜ao degeneradas, isto ´e, apresentam uma pequena separa¸c˜ao entre si. De fato, os experimentos indicam que cada raia espectral ´e, na verdade, constitu´ıda por pelo menos duas raias muito pr´oximas. Esta pequena separa¸c˜ao ´e chamada de estrutura fina das raias e constituiu um dos obst´aculos a serem superados pela Teoria Quˆantica. Em 1925, Pauli20 sugeriu que o el´etron tinha um n´umero quˆantico
adicional que s´o poderia assumir dois valores. No mesmo ano, Goudsmit e Uhlenbeck21 sugeriram que este quarto n´umero quˆantico seria a componente
z do momento angular intr´ınseco do el´etron (ms), o qual denominaram spin
20Zeitschrift f¨ur Physik 32 794 (1925).
6.8 O spin do el´etron Miotto e Ferraz 137 do el´etron. Em seu modelo22, Goudsmit e Uhlenbeck imaginaram o el´etron
como uma esfera que gira em torno do seu eixo enquanto ´orbita o n´ucleo, em analogia `a rota¸c˜ao e transla¸c˜ao da terra em torno do sol. Seguindo esse ra- cioc´ınio, o momento angular intr´ınseco do spin do el´etron s seria descrito de forma an´aloga ao n´umero quˆantico l, e os poss´ıveis valores de sua componente z seriam 2s + 1 (j´a que s˜ao 2l + 1 os poss´ıveis valores da componente z do momento angular orbital). Se ms tem apenas dois poss´ıveis valores, ent˜ao s
deve ser igual a 12. Assim, ms= ±s = ±12, onde cada n´umero corresponde `as
componentes z do el´etron ±12~.
Uma consequˆencia direta da introdu¸c˜ao do spin do el´etron ´e a existˆencia de um momento magn´etico intr´ınseco (j´a que uma carga em rota¸c˜ao ´e equivalente a um conjunto de espiras de corrente el´etrica). Do eletromagnetismo sabemos que o momento magn´etico µ de um sistema el´etrico girante est´a relacionado com o seu momento angular atrav´es de uma constante de proporcionalidade que ´e a raz˜ao da carga pelo dobro da massa da part´ıcula. No caso do el´etron, ter´ıamos ent˜ao ~µ = 2me
e
~
L, onde e ´e a carga; me, a massa; e L, o momento
angular do el´etron. A partir desta equa¸c˜ao, podemos escrever o m´odulo do momento magn´etico e de sua componente z:
µ = e 2me L = e 2me p l(l + 1)~ =pl(l + 1)µB (6.45) e µz= − e 2mem~ = mµ B, (6.46)
onde µB ´e conhecido como magn´eton de Bohr e vale 9,27 × 10−24 J/T. ´E
muito interessante destacar que a quantiza¸c˜ao do momento angular implica na quantiza¸c˜ao do momento magn´etico do el´etron.
Como o el´etron tem um momento angular do spin, caracterizado pelos n´umeros quˆanticos s e ms, ´e de se esperar que o momento magn´etico tenha
a mesma forma, bastando que substituamos l por s e m por ms. Isso levaria
a uma componente z do momento magn´etico do el´etron com magnitude de ±µB
2 . Todavia, valor experimental observado ´e o dobro do esperado, o que faz
com que a rela¸c˜ao usual entre a componente z de qualquer tipo de momento angular JZe a componente z do seu momento magn´etico seja escrita como µz=
−gµBJ~Z, onde g ´e a raz˜ao giromagn´etica, que vale gl = 1, para o momento
angular orbital e gs= 2 para o spin. Esses valores foram previstos por Dirac23
j´a em 1927, que utilizou a relatividade restrita e a Mecˆanica Quˆantica numa equa¸c˜ao de onda relativ´ıstica que denominamos Equa¸c˜ao de Dirac.
22Um relato dos acontecimentos que culminaram com a introdu¸c˜ao do spin foi feito pelo
pr´oprio Goudsmit, em 1971, durante uma palestra em comemora¸c˜ao ao jubileu de ouro da So- ciedade Neerlandesa de F´ısica. Veja a integra, com uma curta nota de apresenta¸c˜ao de J. H. van der Waals em http://www.lorentz.leidenuniv.nl/history/spin/goudsmit. html.
138 Miotto e Ferraz Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica Quˆantica O modelo proposto por Goudsmit e Uhlenbeck, no qual o el´etron aparece como uma esfera que gira em torno do seu eixo, levou-nos a um valor para o momento magn´etico do el´etron que ´e o dobro do observado experimentalmente. Isso ocorre porque este modelo simples n˜ao pode ser tomado literalmente. Ele ´e apenas uma descri¸c˜ao pict´orica, tal qual o modelo atˆomico de Bohr, que facilita a nossa compreens˜ao do problema, mas que n˜ao descreve perfeitamente o sistema quˆantico em quest˜ao. Al´em disso, o modelo de Goudsmit e Uhlenbeck tem um problema intr´ınseco: ele preve que o el´etron ´e uma esfera que gira em torno de seu eixo. Essa previs˜ao ´e contr´aria ao Princ´ıpio de Incerteza de Heisenberg, j´a que implica em localizarmos o el´etron em um ´unico ponto.
A separa¸c˜ao das raias espectrais observadas experimentalmente pode ent˜ao ser entendida como o resultado da intera¸c˜ao entre o momento magn´etico as- sociado ao momento angular orbital e o momento magn´etico do spin. O mo- mento magn´etico do spin s´o pode ter duas orienta¸c˜oes poss´ıveis: paralela ou anti-paralela ao momento magn´etico angular orbital, que s˜ao comumente de- nominadas spin para cima e spin para baixo e representadas graficamente por ↑ e ↓.
A inclus˜ao do n´umero quˆantico associado ao spin possibilita uma descri¸c˜ao completa do ´atomo de hidrogˆenio atrav´es da Mecˆanica Quˆantica. As fun¸c˜oes de onda do el´etron no ´atomo de hidrogˆenio, ou em qualquer sistema eletrˆonico, s˜ao caracterizadas por quatro n´umeros quˆanticos: n, l, m, e ms. Pelo Princ´ıpio
de Exclus˜ao de Pauli sabemos que no caso de f´ermions (por exemplo, el´etrons) dois estados n˜ao podem ser degenerados, ou seja, pelo menos um de seus quatro n´umeros quˆanticos deve diferir. Para um estado qualquer n˜ao podemos dizer a priori qual ´e a orienta¸c˜ao do spin do el´etron. Assim, para sermos o mais geral poss´ıvel, dizemos que o estado ´e uma mistura dos dois poss´ıveis estados de spin. O estado fundamental do ´atomo de hidrogˆenio, por exemplo, ´e descrito por uma combina¸c˜ao linear dos dois poss´ıveis estados de spin que o sistema pode ocupar: Ψ(r,θ,φ)f undamental= C1,0,0,1 2Ψ(r)1,0,0, 1 2 + C1,0,0,− 1 2Ψ(r)1,0,0,− 1 2
6.9
O experimento de Stern-Gerlach
Apesar das previs˜oes te´oricas, a constata¸c˜ao experimental de que o mo- mento angular ´e quantizado n˜ao foi uma tarefa simples24. As primeiras evidˆencias
experimentais da existˆencia do spin est˜ao relacionadas com o experimento de Stern e Gerlach25 de 1922.
24Perceba que a aceita¸c˜ao da existˆencia do spin com um n´umero quˆantico semi-inteiro ´e ob-
jeto de extenso relato por parte do pr´oprio Goudsmit http://www.lorentz.leidenuniv. nl/history/spin/goudsmit.html.