Vimos que a equa¸c˜ao de Schr¨odinger leva `a quantiza¸c˜ao de energia para sistemas ligados e que esta quantiza¸c˜ao ´e observada experimentalmente atrav´es das transi¸c˜oes de energia. Vamos observar alguns aspectos cl´assicos destas transi¸c˜oes em uma dimens˜ao considerando como exemplo uma carga el´etrica. Sabemos que uma carga el´etrica acelerada emite radia¸c˜ao, enquanto que uma carga el´etrica oscilando emite radia¸c˜ao com frequˆencia igual `a frequˆencia de sua oscila¸c˜ao, e, em contrapartida, uma carga el´etrica estacion´aria n˜ao emite radia¸c˜ao.
Por outro lado, do ponto de vista quˆantico, uma part´ıcula de carga q (um el´etron, por exemplo), em um estado quˆantico n, ´e descrita pela fun¸c˜ao de onda ψn(x,t) = ψn(x)exp(−i(En/~)t), onde En ´e a energia do estado quˆantico n e
ψn(x) ´e a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger independente do tempo para um
dado potencial V (x). A probabilidade de encontrarmos a carga em dx ´e pro- porcional a ψ?n(x)ψn(x)dx. Se fizermos muitas medidas em sistemas idˆenticos
(isto ´e, part´ıculas com a mesma fun¸c˜ao de onda), a quantidade de carga encon- trada em dx ´e proporcional a qψn?(x)ψn(x)dx. Portanto, podemos identificar
6.3 Transi¸c˜oes entre estados de energia Miotto e Ferraz 119 fun¸c˜ao de onda contiver uma ´unica energia, a fun¸c˜ao de onda ´e independente do tempo, o que significa que a densidade de carga tamb´em o ser´a. Isso im- plica que a densidade de carga estacion´aria n˜ao irradiar´a (o que foi utilizado como argumento para explicar o postulado de Bohr das ´orbitas n˜ao irradian- tes). Todavia, sabemos que mesmo nesses casos os el´etrons sofrem transi¸c˜oes de energia, causadas pela intera¸c˜ao da part´ıcula carregada com um campo ele- tromagn´etico (f´otons). O tratamento detalhado desse processo ´e complexo, o que nos restringe ao estudo semi-cl´assico do problema.
Considere uma part´ıcula, um el´etron, por exemplo, que pode realizar uma transi¸c˜ao de um estado n caracterizado pela fun¸c˜ao de onda ψn(x,t), para
um estado m caracterizado pela fun¸c˜ao de onda ψm(x,t). Espera-se que a
densidade de probabilidade e a densidade de carga oscilem com frequˆencia angular ωnm, dada pela rela¸c˜ao de Bohr: hν = ~ωnm = En− Em, ou seja,
ωnm = (En− Em)/~, j´a que essa ´e a frequˆencia de emiss˜ao do f´oton quando
ocorre a transi¸c˜ao (de um el´etron, por exemplo) de um estado n para um estado m .
Escreveremos a fun¸c˜ao de onda para uma part´ıcula que esteja realizando uma transi¸c˜ao do estado n para o estado m como uma mistura dos dois es- tados9 ψnm(x,t) = aψn(x,t) + bψm(x,t). N˜ao nos preocuparemos com a e b,
apenas vamos consider´a-los n˜ao nulos. Quando a part´ıcula estiver no estado n, a = 1 e b = 0, para o estado m, a = 0 e b = 1 e quando a part´ıcula estiver realizando uma transi¸c˜ao do estado n para o estado m, a e b s˜ao simultane- amente n˜ao nulos. A densidade de probabilidade para a fun¸c˜ao de onda ser´a escrita como: ψ?nm(x,t)ψnm(x,t) = (aψn?(x,t) + bψ ? m(x,t)) (aψn(x,t) + bψm(x,t)) = a2ψn?(x,t)ψn(x,t) + b2ψ?m(x,t)ψm(x,t) + abψ?n(x,t)ψm(x,t) + abψ?m(x,t)ψn(x,t). (6.23)
Para simplificar a nota¸c˜ao, admitiremos que a fun¸c˜ao de onda ψ(x,t) possa ser escrita como o produto de uma fun¸c˜ao espacial ψ(x) real e uma fun¸c˜ao tem- poral imagin´aria exp(−i(En/~)t) (esse ´e o caso, por exemplo, de um el´etron
confinado em um po¸co quadrado infinito). Nesse caso, os dois primeiros ter- mos de 6.23 s˜ao independentes do tempo10. Note que isso ´e coerente com os resultados experimentais, pois no caso do el´etron estar, por exemplo, no estado n (a = 1 e b = 0), s´o o primeiro termo ´e n˜ao nulo. Isso significa que a densi- dade de carga n˜ao varia com o tempo, ou seja, ele n˜ao irradia em concordˆancia com os resultados experimentais. Resta agora verificarmos o que acontece com os dois ´ultimos termos que s˜ao n˜ao nulos apenas quando a part´ıcula estiver
9N˜ao esque¸ca que essa ´e uma aproxima¸c˜ao!! 10Verifique que a2qψ?
n(x,t)ψn(x,t) = a2qψ?n(x)exp(i(En/~)t)ψn(x)exp(−i(En/~)t).
Como ψ(x) ´e real, sua parte imagin´aria ´e igual a parte real, resultando em a2qψn?(x,t)ψn(x,t) = a2qψn2(x), que n˜ao depende do tempo.
120 Miotto e Ferraz Introdu¸c˜ao `a Mecˆanica Quˆantica realizando uma transi¸c˜ao do estado n para o estado m.
qψ?n(x,t)ψm(x,t) = qaψ?n(x)exp iEn ~ t bψm(x)exp −iEm ~ t = qabψn(x)ψm(x)exp iEn− Em ~ t
= qabψn(x)ψm(x)e(iωnmt). (6.24)
Analogamente,
qψm?(x,t)ψn(x,t) = qabψm(x)ψn(x)e(iωmnt)= qabψn(x)ψm(x)e(−iωnmt),
(6.25) onde ωnm ´e a frequˆencia angular de Bohr. Somando-se essas duas rela¸c˜oes e
usando o fato de que eix+ e−ix= 2cos(x), temos que a densidade de probabi-
lidade ter´a a forma geral ψ?m(x,t)ψn(x,t) = a2qψ2n(x) + b
2qψ2
m(x) + 2qabψn(x)ψm(x)cos (ωnmt) . (6.26)
Logo, a fun¸c˜ao de onda constitu´ıda pela mistura de dois estados de energia leva a uma distribui¸c˜ao de carga que oscila com a frequˆencia de Bohr. Podemos escrever a radia¸c˜ao de um sistema simplificadamente da seguinte maneira: em algum instante, um sistema est´a em um estado excitado n, descrito por ψnm(x,t), e com a = 1 e b = 0. Por causa da intera¸c˜ao do sistema com um
campo eletromagn´etico, por exemplo, (n˜ao inclu´ıdo na equa¸c˜ao) a decresce e b n˜ao ´e mais zero. Nesse instante, a densidade de carga oscila com frequˆencia angular ωnm. Entretanto, o sistema n˜ao irradia energia continuamente, como
prevˆe a teoria cl´assica. Em vez disso, a densidade de carga oscilante implica em uma probabilidade de que um f´oton de energia ~ωnm = En − Em seja
emitido, evento ap´os o qual o sistema ficar´a no estado m com a = 0 e b = 1. Observe que essa an´alise semi-cl´assica permitiu-nos explicar a emiss˜ao de um f´oton individual atrav´es de um processo estat´ıstico.
6.3.1
Elementos de Matriz e Regras de Sele¸c˜ao
O sistema de radia¸c˜ao cl´assica mais elementar ´e um dipolo el´etrico oscilante. O momento de dipolo qx para uma part´ıcula de fun¸c˜ao de onda ψn(x,t) tem
o valor esperado
qhxi = Z +∞
−∞
dx qψn?(x,t)xψm(x,t). (6.27)
Pela discuss˜ao anterior, podemos inferir que se a fun¸c˜ao de onda corresponder a um estado estacion´ario que cont´em uma ´unica energia, o valor esperado do momento de dipolo ser´a independente do tempo. Entretanto, se a fun¸c˜ao de onda ´e uma mistura de dois estados quˆanticos (ψnm(x,t)), qhxi ter´a termos
que oscilam com a frequˆencia de Bohr an´alogos aos obtidos no caso anterior: qhxi = a2qψ2n(x) + b2qψm2(x) + 2qabcos (ωnmt)
Z +∞
−∞
6.4 Reflex˜ao e transmiss˜ao de ondas Miotto e Ferraz 121