Implica¸ c˜ oes do postulado de Planck

Uma formula¸c˜ao alternativa para o postulado de Planck pode ser escrita como: Qualquer ente f´ısico cuja coordenada generalizada ´e uma fun¸c˜ao senoi- dal do tempo (isto ´e, executa oscila¸c˜oes harmˆonicas simples) pode possuir ape- nas energias totais  que satisfa¸cam `a rela¸c˜ao  = hν, onde ν ´e sua frequˆencia e h uma constante Universal.

Figura 3.10: Representa¸c˜ao esquem´atica dos poss´ıveis valores para a energia de um sistema cl´assico (es- querda) e quˆantico (direita).

O postulado de Planck tem uma im- plica¸c˜ao muito im- portante: se classica- mente a energia de um sistema pode as- sumir qualquer va- lor (de zero a infi- nito), quanticamente um ente executando oscila¸c˜oes harmˆoni- cas simples pode ter

apenas energias totais discretas E = 0, hν , 2hν, 3hν, ..., nhν. A energia de um ente que obedece ao postulado de Planck ´e dita quantizada, seus poss´ıveis estados de energia s˜ao chamados de estados quˆanticos e os inteiros n n´umeros quˆanticos. Essa diferen¸ca fundamental est´a representada esquematicamente na figura 3.10

Mas por que n˜ao verificamos esse fato para sistemas muito simples como um pˆendulo? Ao vˆe-lo oscilar parece-nos que o sistema ´e capaz de possuir um conjunto cont´ınuo de energias. A resposta est´a no fato de que o incremento de energia (hν) no pˆendulo ´e da ordem de 10−33 J, enquanto que a energia t´ıpica de tal sistema ´e da ordem de 10−5 J. Para piorar a situa¸c˜ao, n˜ao te- mos condi¸c˜oes t´ecnicas de medir incrementos de energia da ordem de 10−33 J. O mesmo fato ´e observado para todos os sistemas mecˆanicos macrosc´opicos presentes em nosso cotidiano. Para que possamos identificar tal descontinui- dade, ´e necess´ario estarmos no limite de grandes frequˆencias ou que a ordem de varia¸c˜ao da energia seja mensur´avel.

3.2 Radia¸c˜ao do corpo negro Miotto e Ferraz 51

A Ciˆencia em nosso cotidiano: Medidores de temperatura por radia¸c˜ao

Figura 3.11: Representa¸c˜ao esquem´atica de um medidor de temperatura atrav´es de ra- dia¸c˜ao (gentileza Raytek do Brasil).

Por volta de 1800, Sir. Frederick Willian Herschel, astrˆonomo j´a famoso pela descoberta do pla- neta Urano, estava envolvido com experiˆencias relacionadas ao espectro de cores. Em par- ticular, ele queria determinar como o calor se relacionava com as diferentes cores. Para tanto, ele passava luz atrav´es de dife- rentes filtros utilizados para ob- servar a luz solar. Ele notou que filtros de diferentes cores apa- rentemente permitiam a passa- gem de diferentes quantidades

de calor. Herschel acreditava que as cores propriamente ditas poderiam ter tempe- raturas diferenciadas. Para provar suas suposi¸c˜oes ele imaginou um experimento onde a luz solar direta passa por um prisma para criar um espectro (tal qual na forma¸c˜ao do arco-´ıris) e depois mediu a temperatura de cada cor, com o aux´ılio de trˆes termˆometros com bulbos escuros (para melhor absorver o calor) sendo que, para cada cor do espectro, um bulbo se encontrava iluminado pela cor e os outros dois mais distantes para ser- vir como controle. Quando mediu as temperaturas individuais das cores violeta, azul, verde, vermelho, laranja e amarelo, ele notou que todas as cores tinham temperaturas mais altas do que o controle. Al´em disso, ele observou um aumento da temperatura indo do violeta para o vermelho. Este fato levou-o a medir a temperatura pouco al´em da por¸c˜ao vermelha do espectro, em uma regi˜ao onde a luz solar n˜ao era vis´ıvel. Para sua surpresa, ele encontrou nessa regi˜ao a mais alta temperatura. Hershchel realizou uma s´erie de experimentos adicionais com os ent˜ao raios cal´oricos. Ele observou que eles eram refletidos, refratados, absorvidos e transmitidos da mesma forma que a luz vis´ıvel. Herschel havia descoberto os raios infravermelhos, o primeiro tipo de luz n˜ao-vis´ıvel conhecida.

Figura 3.12: Exemplo de aplica¸c˜ao industrial de um termo-visor (genti- leza Raytek do Brasil)

Os grandes avan¸cos tecnol´ogicos propi- ciados pela Ciˆencia dos Materiais per- mitiram o desenvolvimento de detecto- res de radia¸c˜ao infravermelho pequenos, dur´aveis e extremamente precisos. Na maior parte desses medidores de tempe- ratura a radia¸c˜ao ´e coletada por um ar- ranjo ´optico fixo e dirigida a um detetor do tipo termopilha (associa¸c˜ao em s´erie - ver figura 3.11) ou do tipo semicondutor nos mais modernos, onde gera um sinal el´etrico, no caso da termopilha; ou altera

o sinal el´etrico, no caso do semicondutor. A essa altera¸c˜ao de sinal corresponde uma in- tensidade de radia¸c˜ao espectral. Como o comprimento de onda no qual opera o detector tamb´em ´e conhecida, basta utilizar a express˜ao proposta por Planck para determinar a temperatura do corpo de prova ou para obten¸c˜ao de imagens t´ermicas como a da figura 3.12.

52 Miotto e Ferraz A Teoria Quˆantica A Ciˆencia e o seu desenvolvimento: A aceita¸c˜ao (ou n˜ao!) da quantiza¸c˜ao

A leitura do trecho final da palestra de Wiena_{proferida em 11 de dezembro}

de 1911 quando da ocasi˜ao do recebimento do Prˆemio Nobel, mostra o humor da comunidade em rela¸c˜ao `as descobertas de Planck. A fim de que n˜ao restem d´uvidas quanto ao ceticismo reinante em rela¸c˜ao `a introdu¸c˜ao da quantiza¸c˜ao, o ´ultimo par´agrafo da palestra est´a transcrito abaixo em sua forma original.

... We must admit that the result of radiation theory todate is not a very good one for theoretical physics. As we have seen, only the general thermodynamic theories have proved satisfactory as yet. The theory of electrons has come to grief over the radiation problem, the Planck theory has not yet been brought into a definite form. Research is faced with exceptional difficulties and we cannot discern when and how they can be overcome. In science, the redeeming idea often comes from an entirely different direction, investigations in an entirely different field often throw unexpected light on the dark aspects of unresolved problems. We must base our hope in the future in the expectation that the present era which has proved so fruitful for physics may not pass without a complete solution being found for the problem of thermal radiation. Far- reaching and new thoughts will have to set to work, but the result will be great, because we shall obtain a profound insight into the world of the atom and the elementary processes within it.

Quando Wien declara que a Teoria de Planck ainda n˜ao est´a em sua forma definitiva, acrescentando que a resposta esteja em uma dire¸c˜ao completa- mente diferente, deixa claro que grandes cientistas, com participa¸c˜ao fun- damental no estudo da radia¸c˜ao do corpo negro, tinham muitas restri¸c˜oes ao conceito de quantiza¸c˜ao.

a_{http://nobelprize.org/nobel\_prizes/physics/laureates/1911/}

wien-lecture.html