As Tarefas

Na sessão de trabalho do dia 16 de outubro de 2007 [ST 3] o trabalho do grupo centrou-se na análise e discussão sobre as orientações curriculares para o ensino da Ma- temática, em particular a demonstração e as capacidades transversais preconizadas no

novo programa de Matemática8 _{(PMEB). A proposta de Simão tem como principal} objetivo gerar uma discussão e reflexão dos professores sobre a natureza das tarefas e sobre um conjunto de significados que lhe estão associadas. Este é um trabalho que tem como objetivo ajudar as decisões sobre as tarefas a propor aos alunos. Assim, Simão pediu a todos os colegas que fizessem uma leitura do documento antes da sessão de tra- balho [DC ST3].

A sessão começa em plenária e é gerida por Simão. Como metodologia, os pro- fessores foram percorrendo o documento PMEB, com uma leitura guiada:

Simão: Comecemos pelos objetivos e finalidades. O que é que acham? Notam muita diferença do programa de agora? [Pausa enquanto os colegas fazem a leitura individual]

Maria: Acho que dão destaque à resolução de problemas… processos de modelação…generalização…

Sebastião: E raciocínio e capacidade de comunicar em Matemática! Vês, estamos bem, este foi o tema do ano passado! [projeto sobre a comu- nicação matemática]

Filomena: E este ano vamos trabalhar estas coisas, resolução de proble- mas, raciocínio… Não vejo (as) demonstrações! [ST 3]

No discurso dos professores são salientadas palavras com significado para a ati- vidade que o grupo pretende desenvolver ao longo do ano letivo. Sebastião sublinha a capacidade de comunicação, manifestando satisfação por ter sido um tema valorizado pelos professores no ano letivo anterior. Por sua vez, Filomena revela algum desconten- tamento pelo facto de não encontrar referência à demonstração, foco do trabalho do grupo neste ano letivo, parecendo procurar um motivo para validar o investimento que vai ser feito nesta temática.

Na sequência da discussão sobre as orientações curriculares e o foco do trabalho que o grupo pretende desenvolver, Laura oferece-se para partilhar um episódio de uma das suas aulas, salientando a forma como os alunos resolveram uma ficha de trabalho com um conjunto de problemas. Para isso disponibiliza as produções escritas dos alunos. Uma discussão surge centrada na análise das resoluções dos alunos pelos professores e percebe-se que há alguma dificuldade em expressar os raciocínios e os resultados a que

8 _{Este programa de Matemática para o Ensino Básico foi publicado em dezembro de 2007 (ME, 2007).} Nesta fase, o documento estava em discussão pública e o grupo aproveitou para analisar e discutir as orientações curriculares preconizadas no documento.

os alunos chegam. Por outro lado, há um sentimento de que a forma como os alunos se envolvem nas tarefas é muito diferente e depende das turmas:

Laura: Eu antes estava habituada a dar uma ficha e todos trabalharem ao mesmo tempo. Neste momento, eu faço uma ficha maior e sei que as últimas perguntas são para alguns alunos e que outros só fazem três ou quatro e não passam dali.

Simão: A tua turma é boa [dirige-se a Sebastião] atiram-se ao problema. Estiveram ali a bater com a cabeça a tentar resolver (Fazem parcerias na turma de estudo acompanhado de 8.º ano).

Diogo: Mas há miúdos que se não sentissem necessidade de fazer isso, não faziam.

Simão: Mas estes fizeram! [ST 3]

No discurso dos professores parecem emergir diferentes conceções sobre o pro- cesso de ensino-aprendizagem. Por um lado, Laura mostra-se descontente pelo facto dos seus alunos não conseguirem realizar todo o trabalho que ela lhes propõe, centrando nos alunos os fatores que justificam a mudança. Este é um sentimento partilhado por Diogo que salienta a importância da atitude dos alunos face à disciplina como decisivo para a evolução das aprendizagens. Por outro lado, Simão parece rever-se na forma como Se- bastião consegue envolver os alunos em torno das tarefas que lhes propõe. Igualmente, a sua intervenção parece ter a intenção de alertar os presentes que há outros fatores que influenciam a atitude dos alunos, nomeadamente a natureza das tarefas e a forma como o professor desafia os alunos para se envolverem na atividade matemática.

Dando continuidade à análise dos objetivos e finalidades para o Ensino da Ma- temática preconizadas no documento do Programa de Matemática para o Ensino Básico (PMEB), emergem alguns temas de reflexão no grupo. Um tema é sobre os materiais curriculares disponíveis para o trabalho com os alunos. Matilde refere que “o manual escolar não apresenta propostas de tarefas, que me permitam trabalhar com os alunos por níveis de aprendizagem e desenvolver diferentes estratégias de resolução” [DC ST 3]. Outro tema de reflexão está diretamente relacionado com o desenvolvimento das capacidades transversais, tais como a resolução de problemas, a comunicação e o racio- cínio matemático. Simão corrobora a análise de Matilde sobre os manuais e afirma que, na falta de propostas de tarefas mais desafiantes, têm que ser os professores a construir e proporcionar aos alunos a realização dessas tarefas.

A discussão destes temas é reforçada pela análise do PMEB, em particular, sobre o que os alunos no final do 3.º ciclo devem ser capazes de fazer. Discutiu-se quais os

objetivos a serem alcançados ao longo de todo o ensino básico desde o 1.º ciclo, pare- cendo consensual que a demonstração matemática é algo a que os professores têm que dar mais atenção e começar a trabalhar com os seus alunos:

Maria: Fiz um resumo da nossa discussão: Como desenvolver nos alu- nos a capacidade de demonstração? Que tipo de tarefas devemos pro- por aos alunos no sentido de promover a capacidade de demonstração? O que é que nós podemos aceitar como prova em alunos de níveis de escolaridade mais baixo? Será que uma exploração no Cabri [pro- grama de geometria dinâmica] pode ser aceite como uma demonstra- ção? Será que uma demonstração provoca uma necessidade acrescida de outra demonstração? A atitude do professor na sala de aula e face a este tipo de tarefas é um dos critérios para que os alunos comecem a apresentar e demonstrar as suas conjeturas. “Água mole em pedra du- ra tanto bate que fura”. [ST 3]

Da análise dos pontos de discussão percebe-se que o grupo está ainda numa fase de discussão coletiva para concretizar as orientações curriculares para o ensino da Ma- temática. Parece haver consciência que é preciso continuar a mudar as práticas e que essa mudança passa, pela natureza desafiante das tarefas que o professor pode propor aos seus alunos. Porém, também é possível perceber que o grupo tem noção que a reali- zação de tarefas de natureza mais aberta requer mudança no papel do professor e do aluno em sala de aula. Por um lado, é preciso que o aluno se sinta desafiado e se envol- va numa atividade matemática consistente, nomeadamente, formulando conjeturas, pro- curando estratégias para testar e provar a sua validade. Igualmente transparece que, há consciência que esta mudança tem um nível de exigência elevado para o professor, po- dendo constituir um obstáculo à sua realização, dando lugar à desmotivação e abandono deste tipo de prática. Por fim, o grupo revela vontade de enfrentar os desafios e aprender com o desenvolvimento destas tarefas em sala de aula.

No seguimento da sessão, Simão faz circular pelos colegas três documentos (anexos 5.1, 5.2, 5.3) elaborados pelo grupo durante um projeto realizado no ano letivo de 1998/99 e denominado Tarefas para o Ensino/Aprendizagem da Geometria no Se- cundário. No primeiro (anexo 5.1), com o título Utilizar tarefas de investigação em trabalhos de grupo, há um conjunto de ideias a realização de tarefas de investigação com os alunos na sala de aula, sobre as “vantagens” e “desvantagens/dificuldades”. No segundo documento (anexo 5.2), estão organizadas sugestões sobre o Papel do profes- sor na gestão de aulas com tarefas de investigação, em particular o que deve “fazer” e o que “não fazer”. E por fim, no terceiro documento (anexo 5.3), há um conjunto de pon-

tos com o título Reflexões sobre as tarefas de aprendizagem que alerta para aspetos que podem ajudar o professor a planificar a aula para realizar este tipo de tarefas, antecipan- do dificuldades e reações dos alunos à tarefa. Estes documentos foram reconhecidos pela maioria dos professores do grupo, exceto os que estão na escola há menos tempo e os dois professores com mais tempo de serviço, Francisca e Luís [DC ST3].

A pertinência com que estes documentos surgiram nesta sessão de trabalho, mostra a preocupação de Simão em relação às tarefas a propor aos alunos e à forma co- mo o professor as leva para a sala de aula. Por um lado, percebe-se que o grupo, em particular os professores que estão há mais tempo na escola, têm um espólio de conhe- cimento fruto dos diferentes projetos que têm desenvolvido. Também, há a preocupação de recuperar os resultados desse trabalho e capitalizá-lo para o projeto que está a ser desenvolvido. Igualmente se percebe que há a intenção de mostrar aos restantes colegas que há trabalho feito pelo grupo e que, em conjunto, os professores do grupo podem evoluir e desenvolver o seu conhecimento e prática profissional. Por fim, esta parece ser a forma que Simão encontrou para validar as afirmações que são proferidas durante o momento de discussão em torno das tarefas.

Em resultado dos temas discutidos durante esta sessão o grupo decidiu fazer re- flexões escritas sobre realização de uma tarefa em sala de aula, para serem colocadas na plataforma moodle e servir de base para o trabalho das sessões seguintes. Esta parece ser a metodologia que o grupo encontrou para, de uma forma sistemática, refletir sobre a prática dos professores e enriquecer o conhecimento profissional com a partilha de ex- periências.

Na segunda parte da sessão os professores dividiram-se em subgrupos para pla- nificarem o trabalho da semana. Em particular, no subgrupo do 12.º ano Ana, Diogo e Simão procuram aferir onde estão na concretização da primeira unidade e das tarefas que decidiram propor aos alunos:

Simão: [Vira-se para Ana e pergunta] Já começaste a combinatória? Ana: Ainda não!

Simão: Eu ainda não dei a composição [tarefa que decidiram propor a todos os alunos do 12.º ano]. Era para ter dado ontem, mas eles tive- ram teste a Português. Mas vou dar na 6.ª feira!

Ana: Eu já dei a composição.

Simão: Eu vou começar a combinatória amanhã! Se os miúdos me deixa- rem é amanhã! [ST 3]

Simão procura saber até onde é que Ana e Diogo já conseguiram concretizar a primeira unidade. Perante a resposta de Ana, Simão diz que ainda não propôs aos seus alunos a tarefa que envolve a realização de uma composição matemática, sentindo ne- cessidade de apresentar uma justificação. Ana informa que os seus alunos já fizeram a composição. Não havendo reação por parte de Diogo, Simão resolve continuar a tentar perceber qual o trabalho de preparação de aulas que os seus colegas já fizeram:

Simão: Vocês já viram o [exercício] 24 do livro de exercícios? Diogo: Não! Nem o 23 quanto mais o 24!

Ana: Eu também não.

Simão: Então fazem o favor de o ver! Porque eu quero saber o que vocês acham desse. Eu resolvi-o feliz da vida, mas ahhhaaaaaaaaaaa [a ex- pressão sugere que a resolução da tarefa não é evidente], mas talvez não seja a melhor maneira. Gostava que vocês o vissem! [os colegas do 12.º ano, olham para o exercício] É uma [probabilidade] condicio- nada com duas tiragens.

[Pausa, Ana e Diogo procuram resolver a tarefa, até que, ao fim de dois minutos]

Ana: Com cuidado… os alunos…

Simão: Com cuidado?! Olha que lhes dá um aperto!

Ana: Se eles fizerem uma tabela e registarem essas coisas todas…

Simão: Mas a tabela é muito sofisticada… [não se percebe o resto da discussão] [ST 3]

Perante a questão colocada por Simão sobre uma tarefa do manual escolar, Dio- go revela estar ainda não ter resolvido todas as tarefas do manual, assim como Ana, e ao contrário de Simão. Porém, Simão quer perceber como os colegas resolvem uma das tarefas propostas no manual que mais tarde classificam como um problema que envolve a realização de várias experiências. No seu discurso, percebe-se que quer dar a entender que considera a tarefa com um nível cognitivo elevado, embora ele não teve problemas em resolvê-la. Ana, por sua vez, sem resolver a tarefa e apenas com a interpretação que faz do enunciado, avança com uma estratégia que pode ajudar os alunos a evoluir na resolução da tarefa com recurso à representação tabular. Em reposta, Simão considera, neste caso, a tabela uma representação com alguma complexidade para os alunos, sali- entando que podem ter muitas dificuldades. Entretanto Diogo termina a resolução da tarefa e chega a valores muito diferentes de Simão e Ana. Discutem sobre essa dispari- dade e percebe-se que todos compreendem a complexidade do problema, pois os alunos

quando realizarem as experiências, vão obter valores muito díspares e se eles não tive- rem em atenção que se trata de uma probabilidade condicionada com duas tiragens, po- dem errar a resposta ao problema com facilidade.

[Enquanto Diogo continua concentrado a resolver a tarefa]

Simão: Nós se calhar vamos refletir sobre isto da composição!? [refere- se à decisão que o grupo tomou sobre a tarefa que vão apresentar no dia 20 de novembro]. Não a podes entregar na 6.ª feira! [dirige-se pa- ra Ana]

Diogo: O que é que estão a decidir?

Simão: Que vamos fazer a reflexão sobre a composição! Diogo: Eu não quero fazer nada!

Simão: Então fazemos nós os dois! Escolhes a 3 turmas? Não, escolhes só uma!

Ana: Escolho duas, a boa e a má! [ST 3]

No diálogo entre estes três professores, sobressai o conhecimento que os profes- sores têm sobre a Matemática e sobre os alunos, em particular, as dificuldades que os alunos podem ter perante a tarefa e num tópico matemático específico. A tarefa oriunda do manual escolar centra a atenção dos professores. Por outro lado, percebe-se como os professores vão regulando a gestão do currículo ao nível micro, tendo como referência a planificação de unidade e as decisões assumidas pelo subgrupo.

As tarefas ocupam um papel central nas sessões de trabalho do grupo no âmbito do projeto. A discussão sobre as orientações curriculares ajudou o grupo a negociar um conjunto de significados, nomeadamente sobre a natureza das tarefas, estratégias de ensino-aprendizagem e sobre o papel do professor e do aluno na realização de tarefas na sala de aula [DC ST 3]. Neste sentido, na planificação do trabalho a desenvolver com os seus alunos, os professores procuram diversificar a natureza das propostas. Os exercí- cios e problemas ocupam um lugar de relevo, com origem, principalmente, no manual escolar. Mas, para além destas tarefas, o grupo procura também propor tarefas de natu- reza mais aberta9 _{e que se enquadram na temática dos dois projetos do departamento.} No conjunto das dez sessões de trabalho que observei, o grupo discutiu quatro tarefas: Estantes, o Farol, O Talude, e O passeio da Matilde. Na tabela 5.2 estão organizadas as tarefas que os professores construíram no âmbito do projeto e propuseram aos alunos

9 _{Classificação usada por Ponte (2005).}

organizadas por nível de ensino, pela sua natureza (classificação feita pelos professores em grupo), quem a trouxe para o grupo e os recursos usados.

Tabela 5.2 – Algumas das tarefas usadas pelos professores em sala de aula.

Tarefa Natureza Responsável Recursos Anexo

1.º Período letivo

7.º ano Potências: Propriedades _{verdadeiras e falsas} Exercícios Matilde e _Joaquim Papel, lápis e calculadora 5.4 8.º ano A divisão do paralelogramo Exploração Sebastião Computador e programa de _{geometria dinâmica} 5.5 3.º ciclo e

secundário O Farol10 (ST 4) Problema 3.º ciclo e secundário Papel e lápis 5.6 3.º ciclo Estantes11 _{(ST 4) Problema 3.º ciclo Papel e lápis 5.7}

2.º Período letivo

3.º ciclo Talude11 _{(ST 5) Problema 3.º ciclo Papel e lápis 5.8} 8.º ano Teorema de Pitágoras _Polinómios Exercícios e _problemas Sebastião Papel e lápis 5.9 10.º ano O problema da pista de _corridas Investigação Sebastião, Laura e Filo-

mena

Papel, lápis, material de desenho e calculadora gráfica 5.10 10.º ano A função quadrática Modelação Laura Papel, lápis, computador e pro-_{grama de geometria dinâmica.} 5.11 11.º ano Ficha de trabalho para o 11.º _{ano – Funções} Exercícios e _problemas Maria, Joana e _Francisca Papel, lápis e calculadora gráfica 5.12 9.º ano Resolução gráfica de siste-_{mas de equações (com Cabri) Exploração} Diogo, Filo-mena e Cata-

rina

Papel, lápis, material de desenho, computador e programa de

geometria dinâmica. 5.13 3.º ciclo O passeio da Matilde11 _{(ST 7) Problema 3.º ciclo Papel, lápis e manipuláveis 5.14}

3.º Período letivo

3.º ciclo A bomba de gasolina12 _{Problema 3.º ciclo Papel, lápis e calculadora 5.15} 11.º ano Ficha de trabalho para 11.º _{ano – Trigonometria} Exercícios e _problemas Maria, Joana e _Francisca Papel, lápis, material de desenho _{e calculadora gráfica.} 5.16

A origem das tarefas e quem as leva para o grupo varia. A tarefa O Talude foi trazida por Simão de uma das reuniões de acompanhamento do Plano da Matemática13. Na sessão de trabalho, Simão faz circular uma cópia da tarefa por cada um dos seus colegas, lê em voz alta o enunciado e, por fim, pergunta: “O que vamos fazer. Aplica- mos a tarefa ou não? O que acham?” [ST 4, 20/novembro/2007]. Gera-se uma discussão entre pares até que finalmente chegam a acordo em realizar a tarefa em sala de aula, com o objetivo de diagnosticar as dificuldades dos alunos na sua resolução. Face à difi- culdade dos professores assumirem uma data para realizar a tarefa com os alunos, deci- diram que cada um deles aplicava quando tivesse oportunidade, recolhia as respostas dos alunos e guardava-as para posterior análise das resoluções numa das sessões de tra- balho do grupo, situação que ocorreu a 8 de Janeiro de 2008 [ST 5]. A estrutura da tare-

10 _{Problemas adaptados dos itens do PISA 2003 – Program for International Students Assessment.} 11 _{Fonte: Programa de acompanhamento do PM}

12 _{Projeto 1001 itens}

13 _{O Plano da Matemática é monitorizado por um programa de acompanhamento a nível nacional. Cada} professor acompanhante é responsável por um conjunto de escolas da mesma região. As reuniões reali- zam-se uma vez por mês e contam com a presença do coordenador do projeto ou um representante de cada uma das escolas.

fa manteve-se igual à inicial, mas às duas questões acrescentaram uma linha, pedindo para o aluno explicar como tinha chegado à resposta, como forma de assegurarem que eles registassem as estratégias e raciocínios utilizados na resolução da tarefa. A análise das respostas dos alunos foi feita com base numa grelha de critérios de classificação, por nível de desempenho que foi construída pelo grupo (exemplo dos anexos 5.18 e 5.19). O grupo decidiu que a tarefa seria resolvida individualmente.

Para além desta tarefa, o grupo decidiu procurar tarefas de natureza mais aberta que pudessem ser trabalhadas com os alunos, tendo como foco os problemas, as investi- gações/explorações e as demonstrações [ST 4]. Simão foi um dos professores que fez esse trabalho e levou algumas propostas para apresentar aos colegas:

Simão: Peguei nos itens todos do PISA que estão no GAVE14 _{e, um a um} por ali a baixo, tentei mais ou menos ver qual era o tema de cada um deles. Por exemplo, imaginem que nós queremos umas [tarefas] de geometria, umas daqui e outras de acolá. (…) Para fazer mais pergun- tas dá jeito saber o que é e saber o ano de escolaridade em que está associado. (…) E fiquei muito chocado porque montes deles são do 10.º ano. Por isso é normalíssimo que os nossos alunos não tenham boas notas no ciclo. É mais que certo que os nossos alunos não vão acertar nisto. É que ninguém acerta! [reação geral de espanto por par- te dos colegas] Depois quando quiserem ver… Porque eu achava que daqui do PISA podem sair algumas coisas engraçadas para coisas semelhantes ao que o do “Talude” está a fazer [propor aos alunos ta- refas de natureza mais aberta]. Depois se precisarem eu tenho aqui uma lista do material… Eu fiz o trabalho de casa [procurar tarefas]! [ST 5]

Nas suas palavras, percebe-se que Simão procura alertar os colegas para a neces- sidade de diversificar a natureza das tarefas a propor aos alunos e para possíveis locais onde estão disponíveis recursos. Em particular, refere os materiais que estão disponíveis em sítios oficiais do Ministério da Educação e que foram construídos com objetivo de avaliar as aprendizagens dos alunos em Matemática. Por outro lado, evidência a preocu- pação de partilhar o método que seguiu para selecionar e organizar as tarefas que foi pesquisando, salientando a necessidade de identificar o tema matemático, a natureza da tarefa, perceber o nível cognitivo das tarefas e a sua adequação ao ano de escolaridade dos alunos. A reação dos colegas às palavras de Simão mostra alguma surpresa e desco-