A Matemática

Esta secção aborda o conhecimento profissional de Tiago no domínio da Matemática enquanto ciência. Este é um conhecimento relacionado com os conteúdos disciplinares, incluindo: (i) o conhecimento substantivo, associado a factos, conceitos, princípios, estrutura interna e relações com outras disciplinas; e (ii) o conhecimento sintáctico, referente a formas de raciocínio, argumentação e validação matemática.

Para Tiago, a Matemática, em geral, “é uma ciência, é uma das ciências exactas, talvez a mais exacta de todas”, embora aceite que nesta disciplina haja “coisas que não

serão tão exactas como isso” (EntT.203). Atribui-lhe outras características muito importantes, como a de constituir a base do estudo e da investigação que se faz na Física, na Química, na Astronomia, na Biologia e em outras áreas do saber, e destaca a presença constante da Matemática “na nossa vida, em tudo o que fazemos, em tudo o que nos rodeia… e seria muito bom que os alunos se apercebessem exactamente disso que a Matemática é qualquer coisa que está presente praticamente em tudo no nosso meio envolvente”. Tiago parece, assim, oscilar entre a uma visão absolutista e uma visão falibilista da Matemática (Ernest, 1991). Faz uma certa distinção entre esta Matemática entendida como disciplina científica e a Matemática que se trabalha na escola (Azcárate, 1999; Bromme, 1994), servindo esta para criar “as bases para uma evolução que abre portas depois para o estudo da Matemática como ciência” (EntT.204). De uma maneira geral, Tiago quando fala de Matemática é a esta Matemática escolar que se refere.

Reconhecendo que todas as áreas curriculares podem ser importantes, considera, no entanto, a Língua Portuguesa e a Matemática as disciplinas básicas e, por isso, as áreas mais relevantes e estruturantes da formação escolar dos alunos. Por hipótese, se houvesse necessidade de eliminar disciplinas dos currículos escolares, com certeza que seria impensável substituir a Matemática e dar um maior relevo a outras áreas, pois, apesar de entender o papel desempenhado por cada disciplina no desenvolvimento das crianças, “acho que a Língua Portuguesa e a Matemática é que são as disciplinas essenciais” (EntT.205). Contudo, Tiago fala da ambiguidade manifestada pelo discurso governamental e oficial sobre esta matéria, concluindo que, “e falo como professor, falo como professor/aluno, falo como pai e como pai/educador”, à Matemática não tem sido dada a devida importância em termos curriculares, nomeadamente, em termos da carga horária lectiva oferecida aos alunos:

“em termos de discurso [oficial] diz-se que se deve dar muita importância à Matemática e à Língua Portuguesa, mas depois há outra conferência de imprensa em que se diz que este ano a História tem de ser… Depois, metem, ou temos de meter, dentro da mesma carga horária, a Formação Cívica, o Estudo Acompanhado, a Área de Projecto… mesmo que não passe apenas dos planos. Também a nível dos currículos dos segundo e terceiro ciclos e do secundário, excepto a alteração para o bloco de noventa minutos, a carga horária praticamente foi mantida na mesma… Mas acho que a Matemática no primeiro ciclo é essencial. Tanto a Matemática como a Língua Portuguesa se não forem

apreendidas no primeiro ciclo depois é extremamente difícil” (EntT.222).

A Geometria é, sem dúvida, dos temas matemáticos que mais gosta e, por consequência, é dos assuntos que também mais gosta de ensinar, possibilitando-lhe trabalhar a organização e a estruturação do espaço envolvente:

“acho que a geometria ajuda bastante o aluno [ou qualquer outra pessoa] a ter uma percepção do espaço, a organizar-se, a organizar o espaço (…) a estruturar o espaço… o espaço da folha de papel e o próprio espaço que o rodeia, porque, no fundo, tudo o que nos rodeia é constituído por formas geométricas” (EntT.022).

Também gosta bastante da numeração e do desenvolvimento do conceito de número e de quantidade, principalmente, as situações de introdução destes temas trabalhadas no início da escolaridade. Também acha particularmente importante o cálculo numérico. Por isso, valoriza bastante o estudo e a utilização dos algoritmos das operações aritméticas, pretendendo que, para a mesma situação, os seus alunos saibam desenvolver vários processos de cálculo. De facto, como observámos na aula, sempre que é possível obter o mesmo resultado de maneiras diferentes, Tiago aproveita a oportunidade de recordar esses procedimentos numéricos:

T [Tiago] vai efectuando os cálculos do perímetro no quadro. T diz e escreve “P = c + l + c + l ou então também posso dizer P = 2 x l + 2 x l (…). Continua a escrever P = 7,97m + 6m + 7,97m + 6m e começa a efectuar os cálculos recorrendo ao algoritmo da adição…

“vou pedir ao Ricardo para dizer porque coloco aqui o 6 [no algoritmo: na coluna das unidades]”, Ricardo começa a tentar responder e vai ao quadro… “porque ponho aqui o 6 e não o ponho ali?…”, “Frederico, porque ponho o 6 aqui nesta coluna e não o ponho aqui?”, “porque o 6 é… faz parte… do resto”, “vamos lá ver, Ana, quero isso bem explicado”, “porque o 6 é unidade e as unidades têm de estar debaixo de unidades”…

T continua a efectuar os cálculos chegando ao resultado 27,94m , “então quanto mede isto?… 27,94 metros”.

“que outra estratégia [de cálculo] se pode utilizar… isto é, posso dizer… que é 2 x 7,97… é ou não é?”, “é”, “é ou não é? Frederico, Ricardo… mais… porquê?”, diz a Ana “mais 2 x 6”. T regista e efectua no quadro: (2 x 7,97) + (2 x 6) = (2 x 7,97) + 12 = 15,94 + 12 = 27,94 [T fez os cálculos utilizando os algoritmos]. (Aula1T.26).

Em contrapartida, os números ‘decimais’ correspondem a um dos conteúdos matemáticos que menos prefere e no qual se sente pouco à vontade, revelando, consequentemente, maiores dificuldades na respectiva abordagem com os seus alunos:

“é dos números decimais que gosto menos… custa-me muito pôr os alunos, por exemplo, a dividir com números decimais. Não é que não goste, se calhar, tenho é alguma dificuldade em fazer compreender aos miúdos esse tipo de partição… tenho dificuldade talvez em fazer compreender no concreto e fazer com que os miúdos percebam aquilo que estão a fazer. E o que mais me custa é ensinar alguma coisa que eu também não percebo bem” (EntT.207).

Note-se que esta relação entre o gosto de um determinado tema matemático com o gosto de o ensinar tem sido referenciado na literatura (Serrazina, 1999). Também o rigor da linguagem matemática utilizada na aula é outra das suas preocupações constantes. Veja-se, como exemplo, o comentário feito por Tiago numa aula, destacando a diferença entre ‘parecer’ e ‘ser’, após uma aluna ter afirmado que uma determinada figura geométrica “parece um quadrado”:

Os alunos do quarto ano chamam T… Ana diz como o grupo está a resolver a situação “já temos 4 de cada lado… 4 + 4 são 8… mas isso parece um quadrado”, “parece um quadrado? mas do parecer ao ser… é diferente… olha, se for um rectângulo com 99,99 de comprimento e 100 de largura é um quadrado?”, “não… é um rectângulo” responde a Ana, “então façam esses cálculos… vamos lá”. (Aula2T.13).

Apesar disso, por vezes, Tiago também sente algumas dificuldades com a utilização oral da linguagem matemática mais especializada, como se observou na mesma aula. A classe estava a trabalhar a definição de perímetro de um rectângulo, tendo uma aluna dito que o perímetro “é a soma de todos os lados” (Aula2T.03), ao que Tiago acrescentou “é a medida, é a soma ou adição dos comprimentos dos lados do rectângulo (…)”, deixando a dúvida se o perímetro é uma medida ou um comprimento e se ‘soma’ é sinónimo de ‘adição’.

Tiago preocupa-se com aspectos ligados ao conhecimento substantivo da Matemática que engloba os factos, os conceitos, os princípios, a estrutura interna ou a relação com outras disciplinas. Por exemplo, atribui muita importância aos conceitos matemáticos e esforça-se para que os seus alunos os aprendam bem e não façam confusão com as noções básicas. Por isso, na aula, sempre que aparece um desses

conceitos, tem a preocupação de o recordar e esclarecer junto dos alunos para que o utilizem de uma forma correcta. A discussão sobre o que é um polígono na resolução de uma tarefa em que era pedido para assinalar os polígonos num conjunto de figuras geométricas ajuda a ilustrar esta situação:

T lê o título ‘perímetro de polígonos’ e pergunta se ainda se recordam o que é um polígono… “vão pegar no lápis e assinalar na primeira questão… vão pôr uma cruzinha nos polígonos… só os polígonos. Há polígonos e não polígonos…”. (Aula1T.07).

(…) “Andreia, há um bocado faltava um… vais dizer-me por que estás a fazer assim… por que optaste por este e não pelos outros”, Andreia tem dificuldade em explicar… “diz tu, Ana”, “porque estes têm partes curvas”, T vai dizendo “os segmentos de recta… os lados dos polígonos têm segmentos de recta… são pequeninas rectas com princípio e fim e estão interligadas (…) então Ana por que optaste por esses?”, “estes têm todos linhas rectas e os outros têm partes curvas”, “têm de ser figuras em que os lados sejam segmentos de recta… é ou não é, Bela?”. (Aula1T.08).

Mas, igualmente importante é o conhecimento sintáctico da Matemática que se refere a aspectos relacionados com as formas de raciocínio, validação ou argumentação matemática. Como referem Ponte e Serrazina (2000), a actividade matemática, para além dos diversos conceitos, envolve igualmente numerosos processos, dos quais calcular tem um estatuto importante no ensino em níveis mais elementares, tal como demonstrar em níveis mais avançados. Concretizar, operar ou resolver situações problemáticas são exemplos de alguns processos matemáticos pelos quais Tiago diz ter uma maior preferência e a que recorre mais frequentemente para basear as tarefas que propõe na sala de aula:

“a nível de primeiro ciclo a concretização é fundamental, a concretização de determinadas tarefas, porque, principalmente, os alunos mais fracos têm mesmo mais dificuldade em trabalhar em termos abstractos. E quando se trabalha em termos abstractos sem se perceber, realmente, a relação entre o significante e o significado, temos que arranjar estratégias que conduzam o aluno a atingir as competências” (EntT.282). “dentro dos processos… há fases, há fases para tudo. Há a fase da concretização… trabalhar, por exemplo, com o conceito de número, trabalhar o conceito de quantidade concretizável. Depois passamos para uma fase de abstracção, também é necessária. Há bocadinho disse que isto tudo devia ser concretizável, mas há coisas que é extremamente difícil de concretizar, fazer com que um aluno perceba o que é uma milésima de uma unidade, de uma determinada quantidade. Portanto são

coisas que são abstracções. Depois há a resolução das situações… situações problemáticas, também a resolução de determinadas situações sem serem problemáticas, umas adições… só naquela fase do treino. Depois, há também a fase da concepção, por exemplo, propor uma determinada situação resolvida e eles [os alunos] fazerem o problema, quer dizer, fazerem eles o enunciado. Isto leva até situações bastante engraçadas que, muitas vezes, são surpresas com que nós não contávamos” (EntT.208).

Nas aulas observadas, Tiago recorreu a outros processos matemáticos que não tinha referido na entrevista. Por exemplo, em mais do que uma situação, foi visível a grande importância que atribui ao processo de verificação/prova de uma determinada definição ou propriedade. Apresenta-se, de seguida, um episódio de aula em que Tiago pretendia que os seus alunos provassem que uma placa de esferovite era de facto um quadrado, tendo recorrido, para tal, a uma fita métrica para verificar a igualdade geométrica dos lados e a um modelo de ângulo recto para confirmar a igualdade geométrica dos ângulos internos:

T, tal como os alunos, está junto à placa (…) “é um quadrado (…) então isto [o comprimento do lado da placa] é 1…?”, “são 10” diz o Ricardo, “são 100 centímetros” diz a Ana, “são 100cm, são 10dm, é 1… quê?… isto parece impossível, o que é isto?”, “1 metro” diz o Frederico, “1 metro, 1 metro… [Frederico] vai buscar uma fita, vai buscar ferramenta, para vermos (…) vamos confirmar se é 1m ou não”. (Aula3T.16).

Os alunos verificam que o comprimento de cada lado da placa é 1 metro. “são 4m” diz o Frederico, “4m de quê?”, “cm2” responde o aluno sem pensar, “de lado, de perímetro” diz a Ana e repete o Ricardo… “são 4m de perímetro… mas o que me interessa agora é saber que tem 1m de lado”.

“ide buscar um esquadro porque queremos saber se isto [cada um dos ângulos da placa] tem realmente 90º (…) vamos lá confirmar”.

Os alunos trazem os esquadros [que são triângulos rectângulos]. “vamos lá todos confirmar, vamos lá ver onde está o ângulo recto… para já quero ver no esquadro qual é o ângulo que é recto, que mede 90º… qual é? Ricardo, qual é o ângulo que mede 90º?”, “90º?” o aluno não sabe dizer, “quais são os dois lados que são perpendiculares e que formam o ângulo recto”, “?”, “Ana mostra lá os lados que formam um ângulo recto… olha para o esquadro… no esquadro”, a Ana indica correctamente. T pede à Andreia para indicar no seu esquadro, a aluna responde bem. T passa ao Ricardo que indica um ângulo agudo, “então vamos confirmar” T faz a sobreposição com outro esquadro… “achas que sim?”… T esclarece qual o ângulo recto…

“então vamos confirmar se realmente os lados… se os lados formam ângulos rectos ou não, vamos lá ver então”… os alunos confirmam colocando os respectivos esquadros nos quatro ângulos internos.

“então podemos dizer que isto é um quadrado que tem como propriedades ter os lados todos iguais e ter os ângulos… os lados formarem ângulos rectos… e tem como medida do lado 1m ou 10dm ou 100cm ou 1000mm”. (Aula3T.17).

Aliás, numa aula anterior, já tinha acontecido uma situação parecida em que Tiago havia reforçado a necessidade de verificar ou provar sempre o que se afirma:

(…) “quem é que tem a certeza que é um quadrado?” (…) “nós não podemos ter certezas só a olhar”.

(…) [após ter sido feita a prova] “só agora é que posso dizer que é um quadrado… bastava que tivesse tirado aqui um bocadinho no cimo…”, “era um rectângulo” diz um aluno, “aparentemente era um quadrado, mas já era um rectângulo”. T recorda as suas propriedades. (Aula2T.15).

Os processos utilizados por Tiago integram-se nos referidos por Ponte e Serrazina (2000) quando identificam os processos matemáticos que consideram mais importantes para os alunos do primeiro ciclo e os agrupam em quatro grandes categorias: (1) representar, que inclui compreender e usar símbolos, convenções, gráficos; (2) relacionar e operar, que inclui calcular e deduzir, bem como relacionar ideias matemáticas diversas e interpretar ideias matemáticas em situações do dia-a-dia; (3) resolver problemas e investigar situações matemáticas e extra-matemáticas; e (4) comunicar, recorrendo a diferentes linguagens e suportes.

Enquanto aluno, a atitude relativamente à Matemática foi tendo “altos e baixos”. Fazendo uma descrição sucinta e cronológica do contacto que foi tendo com esta área disciplinar, Tiago recorda essa evolução desde os tempos iniciais da sua aprendizagem, em que memorizava e aplicava os assuntos sem compreender muito bem o que se passava, até à conclusão do seu curso de formação inicial, em que teve a possibilidade de olhar para a Matemática sob outros pontos de vista e, assim, ir desenvolvendo e melhorando a sua atitude:

“no primeiro ciclo, foi memorização… memorização sem perceber aquilo que estava a fazer. Depois, no ciclo preparatório, foi tentar compreender aquilo que tinha aprendido, foi talvez a melhor fase, das melhores fases, que eu tive com a Matemática. Depois veio aquela fase da Escola Industrial, em que eu não tinha só uma disciplina de Matemática. Tinha também Matemática ligada à Contabilidade, ligada à

Economia, ligada a outras disciplinas que me cativavam com certeza, porque eu gostava exactamente daquilo que fazia. Embora, infelizmente, não tivesse aquelas bases… eu não podia saber aquilo que não me era ensinado. No Magistério gostei da Matemática. O Magistério foi uma fase mais amadurecida… portanto eu era mais maduro. Ah, entretanto houve a fase do Liceu em que a Matemática foi um desastre, não entrei lá nem por nada, mas a culpa não era do professor, o professor não teve absolutamente culpa nenhuma, foi o eu ter escolhido Matemática. Mas a Escola do Magistério fez-me abrir um leque de possibilidades… parece que me abriu um pouco para eu ter outra visão sobre a Matemática” (EntT.209).

Já como professor, continuou a (re)descoberta de diferentes aspectos da Matemática e a relacionar-se com a disciplina de forma mais positiva. Para isso muito contribuiu a frequência de algumas acções de formação contínua, com acesso a mais informação “em que fiquei com uma visão talvez mais científica, comecei a ver a Matemática realmente como uma ciência… se calhar só aí é que eu me apercebi o quanto importante era a Matemática para o estudo do resto das outras ciências” (EntT.211). Pode-se então afirmar que esta postura mais positiva relativamente à Matemática que Tiago foi desenvolvendo desde os seus tempos de aluno até esta altura como professor resultou bastante da possibilidade que teve de aceder a informação actualizada e a trabalhar a Matemática através de processos mais activos e também porque o fez em conjunto com outros professores aproveitando, deste modo, as vivências de todos.

Curiosamente, o seu interesse mais recente pela Informática também lhe permitiu olhar para a Matemática de uma forma mais ampla. Refere que só há relativamente pouco tempo é que tem consciência que a Matemática está presente em toda a nossa vida e em tudo aquilo que se vai desenvolvendo, principalmente na investigação, levando-o a pensar que “a Matemática é a base” (EntT.162) e que sem ela era impensável o desenvolvimento de outras áreas do saber.

No mesmo sentido, Tiago procura que os seus alunos desenvolvam atitudes cada vez mais positivas e reconheçam a enorme importância da Matemática na vida quotidiana de cada um. Para isso, costuma trabalhar situações que destaquem essa presença da Matemática na vida real, ajudando a que sejam melhor compreendidas. Exemplificando esta preocupação, apresenta-se um pequeno extracto de uma das aulas

observadas depois de ter havido a discussão e aplicação de um processo de cálculo do perímetro de figuras geométricas não poligonais:

T pede aos alunos para adiantarem outras situações da vida real que envolvam o cálculo de perímetros de figura não poligonais… Os alunos não se lembram…

T refere a medição do perímetro craniano que geralmente é feita nos recém-nascidos. Todos fazem e comentam essa medição com uma fita métrica de pano. T refere ainda e faz a medição da cintura em si e em alguns alunos e discutem a relação com os números que aparecem nas calças.

T conclui que “a Matemática está presente em muitas situações da vida real” e que as podemos entender melhor recorrendo à Matemática. (Aula2T.22).

Neste momento, a sua relação com a Matemática vive uma fase serena em que “não há relação de intimidade, mas também não há uma relação de afastamento. É uma relação de sã convivência” (EntT.212). Adianta que “consigo conviver com a Matemática e procuro compreendê-la… a Matemática sabe mais do que eu [risos]… procuro compreendê-la, porque ela está feita e eu é que tenho que me adaptar a essa Matemática”, assumindo aqui claramente uma visão mais absolutista da Matemática, contrariando perspectivas mais falibilistas expressas em outras ocasiões. De uma maneira geral, pode considerar-se que Tiago assume uma postura mais absolutista quando se refere à Matemática enquanto ciência e adopta uma postura mais falibilista quando se trata da Matemática escolar.

Reconhecendo-lhe grande importância no desenvolvimento do seu conhecimento profissional, Tiago tem procurado aperfeiçoar-se, tentando compreender melhor alguns temas matemáticos. Acha que tem evoluído positivamente neste aspecto tomando conhecimento de novos métodos, de novas técnicas, e mesmo de conceitos e aspectos mais teóricos da Matemática, ora consultando, embora pouco, livros mais especializados, ora discutindo e esclarecendo as suas dúvidas com outros colegas.