Quanto você estaria disposto a pagar, hoje, dado que pode obter 7% sobre investimentos de baixo risco, para receber uma soma garantida de $ 3.000 ao fim de cada um dos próximos 20 anos? Quanto você teria ao cabo de cinco anos se, ao fim de cada um dos próximos anos, seu empregador retivesse e investisse $ 1.000 de sua bonificação anual, garantindo -lhe uma taxa anual de retorno de 9%? Para responder a essas perguntas, você precisa entender a aplicação do valor do dinheiro no tempo às
anuidades.
Uma anuidade é uma série de fluxos de caixa periódicos iguais, ao longo de um determinado período de tempo. Esses fluxos de caixa costumam ser anuais, mas podem ocorrer a intervalos diferen- tes, como mensais (aluguel, prestação do carro). Os fluxos de caixa de uma anuidade podem ser
entradas (os $ 3.000 recebidos ao fim de cada ano pelos próximos 20 anos) ou saídas (os $ 1.000
investidos ao fim de cada ano pelos próximos cinco anos) de caixa.
Tipos de anuidade
Há dois tipos básicos de anuidade. Numa anuidade ordinária, o fluxo de caixa se dá no fim de cada período. Numa anuidade vencida (ou antecipada), o fluxo de caixa ocorre no início de cada período.
EXEMPLO
Fran Abrams precisa escolher entre duas anuidades. Ambas são de cinco anos e $ 1.000; aanuidade A é ordinária, e a B, vencida. Para entender melhor a diferença entre as duas, ela lançou seus fluxos de caixa na Tabela 4.1. Observe que o valor acumulado das duas anuidades corresponde a $ 5.000. Elas diferem apenas quanto ao momento em que se dão seus fluxos de caixa, que são recebidos antes com a anuidade vencida do que com a ordinária.
Embora os fluxos de caixa das duas anuidades da Tabela 4.1 totalizem $ 5.000, a anuidade ven- cida resultaria em maior valor futuro do que a ordinária porque cada um de seus cinco fluxos de caixa pode render juros por um ano a mais do que os da anuidade ordinária. De modo geral, como demons- traremos mais adiante, tanto o valor futuro quanto o valor presente de uma anuidade vencida são sem-
pre maiores do que o valor futuro e o valor presente, respectivamente, de uma anuidade ordinária que seja idêntica em todas as demais características.
Como as anuidades ordinárias são usadas com maior frequência em finanças, salvo indicação
contrária, o termo anuidade será usado neste livro em referência às anuidades ordinárias.
Determinação do valor futuro de uma anuidade ordinária
Os cálculos necessários para encontrar o valor futuro de uma anuidade ordinária são exemplifi- cados a seguir.
Anuidade Uma série de fluxos
de caixa periódicos iguais, por um prazo determinado. Esses fluxos de caixa podem ser
entradas recebidas em
investimentos ou saídas de fundos aplicados para gerar resultados futuros.
Anuidade ordinária Uma
anuidade cujo fluxo de caixa ocorre no fim de cada período.
Anuidade vencida (ou antecipada) Uma anuidade
cujo fluxo de caixa ocorre no
início de cada período.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 157
Gitman-12_P2-C04.indd 157
EXEMPLO
Fran Abrams quer determinar quanto dinheiro terá ao fim de cinco anos se escolher a anui- dade A, a ordinária, que representa depósitos anuais de $ 1.000, ao fim de cada um dos próximos cinco anos, numa conta de poupança que rende juros anuais de 7%. A situação encontra -se representada na linha de tempo a seguir:$ 1.000 $ 1.000 $ 1.000 $ 1.000 $ 1.000 0 1 2 3 4 5 $ 1.311 1.225 1.145 1.070 1.000 $ 5.751 Valor futuro Final do ano
Como mostra a figura, ao fim do quinto ano Fran terá $ 5.751 em sua conta. Observe que, como os depósitos são feitos no fim de cada ano, o primeiro renderá juros por quatro anos, o segundo, por três, e assim por diante.
Uso de ferramentas de computação para determinar o valor futuro de uma anuidade ordinária
Os cálculos de anuidades podem ser simplificados com o uso de calculadora financeira, planilha eletrônica ou tabela de juros. Uma tabela para o valor futuro de uma anuidade ordinária de $ 1 pode ser encontrada na Tabela A-3 do Apêndice. Os fatores lá constantes são derivados da soma dos fatores de valor futuro do número de anos em questão. Por exemplo, o fator da anuidade do exemplo anterior é a soma dos fatores dos cinco anos (anos de 4 a 0): 1,311 + 1,225 + 1,145 + 1,070 + 1,000 = 5,751. Como os depósitos ocorrem no fim de cada ano, rendem juros a contar do final do ano em que se dá cada aplicação, até o fim do quinto ano. Portanto, o primeiro depósito rende juros por quatro anos (do fim do primeiro ano até o fim do quinto ano ) e o último depósito rende juros por zero ano. O fator de valor futuro para zero ano a qualquer taxa de juros i, FVFi,0, é 1,000, como já vimos. A fórmula do fator
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Linha de tempo do valor futuro de uma anuidade ordinária (depósito de $ 1.000 no fim de cada ano, rendendo 5% e ao fim de cinco anos)Fluxos de caixa anuais
Final do anoa Anuidade A (ordinária) Anuidade B (vencida)
0 $ 0 $ 1.000 1 1.000 1.000 2 1.000 1.000 3 1.000 1.000 4 1.000 1.000 5 1.000 0 Totais $ 5.000 $ 5.000
a O fim dos anos 0, 1, 2, 3 e 4 corresponde ao começo dos anos 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente.
Comparação dos fluxos de caixa de uma anuidade ordinária de uma anuidade vencida ($ 1.000, cinco anos)
T
ABELA
4.1
158 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 158
de valor futuro de uma anuidade ordinária com juros compostos anualmente a i % por n períodos, FVFAi,n, é8 FVFAi,n = n
∑
t = 1 (1 + i)t – 1 (4.13)Esse fator é o multiplicador usado para calcular o valor futuro de uma anuidade ordinária a uma dada taxa de juros e por certo período de tempo.
Usando VFAn para representar o valor futuro de uma anuidade de n anos, PMT para representar o valor a ser depositado anualmente ao fim de cada ano e FVFAi,n para representar o fator de valor futu-
ro aplicável a uma anuidade ordinária de um dólar composta a i% por n anos, podemos expressar a
relação entre essas variáveis como
VFAn = PMT × (FVFAi,n) (4.14)
O exemplo a seguir ilustra esse cálculo usando uma calculadora financeira, uma planilha eletrô- nica e uma tabela de juros.
EXEMPLO
Como já vimos, Fran Abrams quer saber o valor futuro (VFAn), ao fim de cinco anos (n), deum depósito de $ 1.000 (PMT) ao fim de cada ano, em uma conta de poupança que renderá 7% de juros anuais (i) durante os próximos cinco anos.
Uso da calculadora. Usando os dados mostrados ao lado, você concluirá que o valor futu-
ro da anuidade é $ 5.750,74, resultado esse um pouco mais preciso do que o encontrado com a tabela (ver abaixo).
Uso da planilha. O valor futuro da anuidade ordinária também pode ser calculado como
mostra a planilha Excel a seguir.
A B
1 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE ORDINÁRIA
2 Pagamento anual $ 1.000
3 Taxa de juros, % ao ano, composta anualmente 7%
4 Número de anos 5
5 Valor futuro de uma anuidade ordinária $ 5.750,74 O valor da Célula B5 é =FV(B3,B4,–B2)
Um sinal negativo antecede B2 porque o pagamento anual é uma saída de caixa.
Uso de tabelas. O fator de valor futuro para uma anuidade ordinária de cinco anos a 7%
(FVFA7%, 5 ANOS), como consta da Tabela A-3, é 5,751. Usando a Equação 4.14, o depósito de
$ 1.000 × 5,751 resulta num valor futuro da anuidade de $ 5.751.
Determinação do valor presente de uma anuidade ordinária
Muitas vezes, em finanças, precisamos determinar o valor presente de uma série de fluxos de caixa a ser recebida em períodos vindouros. Uma anuidade é, evidentemente, uma série de fluxos de caixa iguais e periódicos (trataremos do caso de séries mistas de fluxos de caixa mais adiante). O método para encontrar o valor presente de uma anuidade ordinária é semelhante ao que acabamos de descrever. Há os métodos longo e breve para realização desse cálculo.
8 Uma expressão matemática que pode ser aplicada para calcular com maior eficiência o fator de valor futuro de uma anuidade ordinária é
FVFAi,n = 1 × [(1 + i)n – 1] (4.13a)
i
O uso dessa expressão é de especial utilidade na ausência de uma calculadora financeira, de planilha eletrônica ou das tabelas financeiras necessárias.
Fator de valor futuro de uma anuidade ordinária
Multiplicador utilizado para calcular o valor futuro de uma
anuidade ordinária a uma taxa
estipulada de juros por um dado período.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Dado Função 1000 PMT 5 N 7 I CPT FV Solução 5.750,74Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 159
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EXEMPLO
A Braden Company, uma pequena produtora de brinquedos de plástico, quer determinar o máximo que deverá pagar pela compra de uma anuidade ordinária específica. A anuidade con- siste em fluxos de caixa de $ 700 ao fim de cada ano por um prazo de cinco anos. A empresa requer que a anuidade forneça um retorno mínimo de 8%. A situação encontra -se representa- da na linha de tempo a seguir:0 1 2 3 4 5 Final do ano $ 700 Valor presente $ 700 $ 700 $ 700 $ 700 648,20 599,90 555,80 514,50 476,70 $ 2.795,10 $
A Tabela 4.2 mostra o método longo de cálculo do valor presente da anuidade. Esse método envolve determinar o valor presente de cada pagamento e somar os resultados. O procedimen- to resulta num valor presente de $ 2.795,10.
Uso de ferramentas de computação para determinar o valor presente de uma anuidade ordinária
Os cálculos de anuidades podem ser simplificados com o uso de calculadora financeira, planilha eletrônica ou tabela de juros. Uma tabela do valor presente de uma anuidade ordinária de $ 1 pode ser encontrada na Tabela A-4 do Apêndice. Os fatores lá constantes são derivados da soma dos fato- res de valor futuro (Tabela A-2) para o número de anos e taxa de desconto em questão. A fórmula de
fator de valor presente de uma anuidade ordinária com fluxos de caixa descontados a i % por n anos,
FVPAi,n, é9 FVPAi,n = n
∑
t = 1 1 (4.15) (1 + i)t9 Uma expressão matemática que pode ser aplicada para calcular com maior eficiência o fator de valor presente de uma anuidade ordinária é
FVPAi,n = 1 × 1⎡
⎣1 – 1 ⎤⎦ (4.15a)
i (1 + i)n
O uso dessa expressão é de especial utilidade na ausência de uma calculadora financeira, uma planilha eletrônica ou tabelas finan- ceiras apropriadas.
Linha de tempo do valor presente de uma anuidade ordinária (fluxos de caixa de $ 700 no fim de cada ano, descontado a 8% ao longo de cinco anos)
Fator de valor presente de uma anuidade ordinária
Multiplicador usado para calcular o valor presente de uma
anuidade ordinária a uma taxa
estipulada de desconto por determinado período.
Ano (n) Fluxo de caixa (1) FVP8%,na (2) Valor presente [(1) × (2)] (3)
1 $ 700 0,926 $ 648,20
2 700 0,857 599,90
3 700 0,794 555,80
4 700 0,735 514,50
5 700 0,681 476,70
Valor presente da anuidade $ 2.795,10
a Os fatores de valor presente a 8% foram extraídos da Tabela A-2.
Método detalhado de cálculo do valor presente de uma anuidade ordinária
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ABELA
4.2
160 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 160
Esse fator é o multiplicador usado para calcular o valor presente de uma anuidade ordinária, a uma dada taxa de desconto, por um determinado período de tempo.
Sendo VPAn o valor presente de uma anuidade ordinária de n anos, PMT o valor a ser recebido anualmente ao fim de cada ano e FVPAi,n o fator de valor presente aplicável a uma anuidade ordinária
de um dólar descontada a i % por n anos, podemos expressar a relação entre as variáveis como
VPAn = PMT × (FVPAi,n) (4.16)
O exemplo a seguir ilustra o cálculo, realizado com calculadora financeira, planilha eletrônica ou tabela de juros.
EXEMPLO
Como já vimos, a Braden Company quer determinar o valor presente de uma anuidadeordinária de cinco anos de $ 700, admitindo um custo de oportunidade de 8%.
Uso da calculadora. Utilizando os dados ao lado, você encontrará o valor presente da
anuidade ordinária como sendo igual a $ 2.794,90. O valor obtido com a calculadora é mais preciso do que o encontrado com a equação ou a tabela (ver abaixo).
Uso da planilha. O valor presente da anuidade ordinária também pode ser calculado como
mostra a planilha Excel a seguir.
A B
1 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE ORDINÁRIA
2 Pagamento anual $ 700
3 Taxa de juros, % ao ano, composta anualmente 8%
4 Número de anos 5
5 Valor presente de uma anuidade ordinária $ 2.794,90 O valor da Célula B5 é =PV(B3,B4,–B2)
Um sinal negativo antecede B2 porque o pagamento anual é uma saída de caixa.
Uso de tabelas. O fator de valor presente de uma anuidade ordinária a 8% por cinco anos
(FVPA8%, 5 ANOS), segundo a Tabela A-4, é de 3,993. Se usarmos a Equação 4.16, a anuidade de
$ 700 × 3,993 resultará num valor presente de $ 2.795,10.
Determinação do valor futuro de uma anuidade vencida
Agora voltamos nossa atenção para as anuidades vencidas (ou antecipadas). Lembre -se de que os fluxos de caixa de uma anuidade vencida se dão no início do período. Aplicamos ao fator de valor futuro de uma anuidade ordinária (Tabela A-3) uma simples conversão para que possa ser usado com anuidades vencidas. Essa conversão pode ser vista na Equação 4.17:
FVFAi,n (anuidade vencida) = FVFAi,n × (1 + i) (4.17)
Essa equação nos diz que o fator de valor futuro de uma anuidade vencida pode ser encontrado por meio da simples multiplicação do fator de valor futuro de uma anuidade ordinária, de mesmo rendimento e período, pela expressão (1 + i). Por que esse ajuste é necessário? Porque cada fluxo de caixa de uma anuidade vencida rende juros por um ano a mais do que uma anuidade ordinária (do início ao final do ano). Multiplicar FVFAi,n por (1 + i) acrescenta o rendimento de juros de mais um ano a cada fluxo de caixa da anuidade. O exemplo a seguir ilustra a determinação do valor futuro de uma anuidade vencida.
EXEMPLO
Como vimos em exemplo anterior, Fran Abrams desejava escolher entre uma anuidadeordinária e outra vencida, ambas com condições semelhantes, a não ser pelo momento de ocor- rência dos fluxos de caixa. Calculamos o valor futuro da anuidade ordinária no exemplo da página 148. Agora, calcularemos o valor futuro da anuidade vencida, usando os fluxos de caixa representados pela anuidade B da Tabela 4.1.
Dado Função 700 PMT 5 N 8 I CPT PV Solução 2.794,90
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 161
Gitman-12_P2-C04.indd 161
Uso da calculadora. Antes de usar sua calculadora para encontrar o valor futuro de uma
anuidade vencida, dependendo do modelo de sua máquina, você precisará alternar para o modo BEGIN ou usar a teclar DUE. Em seguida, usando os dados ao lado, você encontrará o valor futuro da anuidade vencida, de $ 6.153,29. (Obs.: como em praticamente todos os casos supomos que os fluxos de caixa ocorram no fim de cada período, lembre -se de alternar novamente sua calcula-
dora financeira para o modo END ao concluir os cálculos da anuidade vencida.)
Uso da planilha. O valor futuro de uma anuidade vencida também pode ser calculado como
mostra a planilha Excel a seguir.
A B
1 VALOR FUTURO DE UMA ANUIDADE VENCIDA
2 Pagamento anual $ 1.000
3 Taxa de juros, % ao ano, composta anualmente 7%
4 Número de anos 5
5 Valor futuro de uma anuidade vencida $ 6.153,29 O valor da Célula B5 é =FV(B3,B4,–B2,0,1)
Um sinal negativo antecede B2 porque o pagamento anual é uma saída de caixa.
Uso de tabelas. Substituindo i = 7% e n = 5 anos na Equação 4.17, com ajuda do fator de
juros apropriado obtido da Tabela A-3, temos
FVFA7%, 5 ANOS (anuidade vencida) = FVFA7%, 5 ANOS × (1 + 0,07)
= 5,751 × 1,07 = 6,154
Substituindo PMT = $ 1.000 e FVFA7%, 5 ANOS (anuidade vencida) = 6,154 na Equação 4.14,
temos o valor futuro da anuidade vencida:
VFA5 = $ 1.000 × 6,154 = $ 6.154
Comparação do valor futuro de uma anuidade vencida com o de uma anuidade ordinária
O valor futuro de uma anuidade vencida é sempre maior do que o de uma anuidade ordinária com todas as demais características em comum. Isso pode ser visto por meio de uma comparação do valor futuro ao fim do quinto ano entre as duas anuidades de Fran Abrams:
Anuidade ordinária = $ 5.750,74 Anuidade vencida = $ 6.153,29
Como o fluxo de caixa da anuidade vencida ocorre no início do período, não no final, seu valor futuro é maior. No exemplo, Fran receberia cerca de $ 400 a mais com a anuidade vencida.
Determinação do valor presente de uma anuidade vencida
Também podemos encontrar o valor presente de uma anuidade vencida. Esse cálculo pode ser facilmente realizado por meio de um ajuste do cálculo para uma anuidade ordinária. Como os fluxos de caixa de uma anuidade vencida ocorrem no início, não no final de cada período, cada fluxo de caixa de uma anuidade vencida é descontado por um ano a menos do que o de uma anuidade ordi- nária. Uma conversão simples pode ser feita nos fatores de valor presente (Tabela A-4) de anuidades ordinárias, para aplicá -los a uma anuidade vencida.
FVPAi,n (anuidade vencida) = FVPAi,n × (1 + i ) (4.18)
A equação indica que o fator de valor presente para uma anuidade vencida pode ser obtido por meio da multiplicação do fator de valor futuro aplicável a uma anuidade ordinária, de igual rendimen- to e período, pela expressão (1 + i). Essa conversão faz um ajuste para o fato de que cada fluxo de caixa de uma anuidade vencida é descontado por um ano a menos do que uma anuidade ordinária compa- rável. Multiplicar FVPAi,n por (1 + i) acrescenta um ano de juros a cada fluxo de caixa da anuidade. E
Nota: passe a calculadora para o modo BEGIN. Dado Função 1000 PMT 5 N 8 I CPT FV Solução 6.153,29
162 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 162
acrescentar a cada fluxo de caixa um ano de juros reduz em um o número de anos de desconto de
cada fluxo de caixa.
EXEMPLO
No exemplo anterior da Braden Company, calculamos o valor presente da anuidade ordiná-ria de $ 700, em cinco anos, à taxa de desconto de 8%, como sendo de aproximadamente $ 2.795. Se admitirmos, agora, que o fluxo de caixa de $ 700 da empresa se dê no início de cada ano e a anuidade for, portanto, vencida, podemos achar seu valor presente usando uma calculadora financeira, uma planilha ou uma tabela.
Uso da calculadora. Antes de usar sua calculadora para determinar o valor presente de
uma anuidade vencida, dependendo das características da máquina, você deverá alterná -la para o modo BEGIN ou usar a tecla DUE. Em seguida, usando os dados à esquerda, você encontrará o valor presente da anuidade vencida correspondente a $ 3.018,49 (Obs.: como quase sempre admitimos fluxos de caixa ao fim do período, lembre -se de voltar sua calculadora para o modo END
ao concluir os cálculos de anuidade vencida.)
Uso da planilha. O valor presente da anuidade vencida também pode ser calculado como
mostra a planilha Excel a seguir.
A B
1 VALOR PRESENTE DE UMA ANUIDADE VENCIDA
2 Pagamento anual $ 700
3 Taxa de juros, % ao ano, composta anualmente 8%
4 Número de anos 5
5 Valor presente de uma anuidade vencida $ 3.018,49 O valor da Célula B5 é =PV(B3,B4,–B2,0,1)
Um sinal negativo antecede B2 porque o pagamento anual é uma saída de caixa.
Uso de tabelas. Substituindo i = 8% e n = 5 anos na Equação 4.18, com ajuda do fator de
juros apropriado extraído da Tabela A-4, temos
FVPA8%, 5 ANOS (anuidade vencida) = FVPA8%, 5 ANOS = (1 + 0,08)
= 3,993 × 1,08 = 4,312
Em seguida, substituindo PMT = $ 700 e FVPA8%, 5 ANOS (anuidade vencida) = 4,312 na Equação 4.16, temos o valor presente da anuidade vencida:
VPA5 =$ 700 × 4,312 = $ 3.018,40
Comparação entre o valor presente de uma anuidade vencida e o de uma anuidade ordinária
O valor presente de uma anuidade vencida é sempre maior do que o de uma anuidade ordinária que seja igual em todos os demais sentidos. Isso pode ser verificado comparando -se as duas anuidades da Braden Company:
Anuidade ordinária = $ 2.794,90 Anuidade vencida = $ 3.018,49
Como o fluxo de caixa da anuidade vencida se dá no início do período, não no fim, seu valor presente é maior. No exemplo, a Braden Company obteria cerca de $ 200 a mais em valor presente com a anuidade vencida.
Determinação do valor presente de uma perpetuidade
Uma perpetuidade é uma anuidade de duração infinita — ou seja, uma anuidade que nunca deixa de fornecer a seu titular um fluxo de caixa ao fim de cada ano (por exemplo, o direito de receber $ 500, ao fim de cada ano, para sempre).
Nota: passe a calculadora para o modo BEGIN. Dado Função 700 PMT 5 N 8 I CPT PV Solução 3.018,49
Perpetuidade Uma anuidade
com duração infinita, ou seja, que proporciona fluxos anuais de caixa contínuos.
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 163
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Às vezes, precisamos encontrar o valor presente de uma perpetuidade. O fator de valor presente da perpetuidade descontada à taxa i é
FVPAi,∞ =
1
(4.19)
i
Como mostra a equação, o fator correto, FVPAi,∞, pode ser encontrado simplesmente dividindo -se
1 pela taxa de desconto, i (em notação decimal). A validade desse método pode ser comprovada por meio de uma análise dos fatores da Tabela A-4 para 8, 10, 20 e 40%: à medida que o número de períodos (anos, em geral) se aproxima de 50, os fatores se aproximam dos valores calculados por meio da Equação 4.19: 1 ÷ 0,08 = 12,50; 1 ÷ 0,10 = 10,00; 1 ÷ 0,20 = 5,00; e 1 ÷ 0,40 = 2,50.
EXEMPLO
Ross Clark quer instituir um fundo de bolsa para a cadeira de finanças da universidade pelaqual se formou. A instituição informou que precisa de $ 200.000 por ano para manter a cadeira