Imagine que aos 25 anos você comece a aplicar $ 2.000 por ano em um investimento que renda 5% ao ano garantidos. Ao fim de 40 anos, com 65 anos de idade, você terá investido um total de $ 80.000 (40 anos × $ 2.000 por ano). Admitindo que todo o valor tenha permanecido investido, quanto você teria acumulado ao fim do quadragésimo ano? $ 100.000? $ 150.000? $ 200.000? Nada disso, seus $ 80.000 teriam se transformado em $ 242.000! Por quê? Porque o valor do dinheiro no tempo permitiu que seus investimentos gerassem retornos que se acumularam ao longo do período.
Valor futuro de uma quantia única
Os conceitos e cálculos mais básicos de valor futuro e valor presente referem -se a quantias únicas, sejam elas atuais ou futuras. Começaremos pela análise do valor futuro de quantias atuais. A seguir, usaremos os conceitos subjacentes para determinar o valor presente de quantias futuras. Veremos que, embora o valor futuro seja intuitivamente mais atraente, o valor presente é mais útil na tomada de decisões financeiras.
Muitas vezes precisamos determinar o valor, num momento futuro, de uma dada quantia em dinheiro depositada hoje. Por exemplo, se você depositar $ 500 hoje numa conta que paga juros de 5% ao ano, quanto terá nessa conta ao fim de exatos dez anos? O valor futuro é o valor, numa deter- minada data futura, de uma quantia depositada hoje e que rende juros a uma taxa especificada. Depende da taxa de juros obtida e do prazo pelo qual se mantém o valor em depósito. Aqui, exploraremos o valor futuro de uma quantia única.
O conceito de valor futuro
Falamos de juros compostos para indicar que o valor dos juros obtidos sobre um determinado depósito tornou -se parte do principal ao fim de um período qualquer. O termo principal refere -se à quantia sobre a qual incidem os juros. O tipo mais comum de composição é o anual.
O valor futuro de uma quantia atual é identificado por meio da aplicação de juros compostos ao longo de um prazo especificado. As instituições de poupança anunciam retornos a juros compostos de x%, ou juros de x%, com composição anual, semestral, trimestral, mensal, semanal, diária ou até contínua. O conceito de valor futuro com composição anual pode ser ilustrado com um exemplo simples.
EXEMPLO
Se Fred Moreno depositar $ 100 numa conta poupança que pague 8% de juros com com-posição anual, ao fim de um ano terá nessa conta $ 108 — o principal original de $ 100, mais 8% ($ 8) em juros. O valor futuro ao fim do primeiro ano é calculado por meio da Equação 4.1:
Valor futuro ao fim do primeiro ano = $ 100 × (1 + 0,08) = $ 108 (4.1)
Se Fred deixasse seu dinheiro na conta por mais um ano, receberia juros à taxa de 8% sobre o novo principal, de $ 108. Ao fim do segundo ano, haveria na conta $ 116,64. Isso representa o principal no início do segundo ano ($ 108) mais 8% ($ 8,64) de juros. Calculamos o valor futuro ao fim do segundo ano com a Equação 4.2:
Valor futuro ao fim do segundo ano = $ 108 × (1 + 0,08)
= $ 116,64 (4.2)
Substituindo a expressão entre os sinais de igual na Equação 4.1 pelo valor de $ 108 da Equação 4.2, temos a Equação 4.3:
Valor futuro ao fim do segundo ano = $ 100 × (1 + 0,08) × (1 + 0,08) = $ 100 × (1 + 0,08)2
= $ 116,64
(4.3)
As equações do exemplo acima levam a uma fórmula geral de cálculo do valor futuro.
Valor futuro O valor de uma
quantia em uma data futura, encontrado com a aplicação de
juros compostos por certo
período.
Juros compostos Juros
auferidos sobre um dado depósito e que passam a fazer parte do principal ao fim de um período estipulado.
Principal Valor monetário
sobre o qual incidem juros.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 151
Gitman-12_P2-C04.indd 151
Equação de valor futuro
A relação básica da Equação 4.3 pode ser generalizada para determinar o valor futuro para qual- quer número de períodos. Usamos as notações a seguir para os diferentes dados:
VFn = valor futuro no final do período n
VP = principal original, ou valor presente
i = taxa de juros anual (Obs.: em calculadoras financeiras, essa taxa costuma ser representa-
da por I)
n = número de períodos (normalmente anos) pelo qual o dinheiro é mantido aplicado
A equação geral de valor futuro no final do período n é
VFn = VP × (1 + i)n (4.4)
Um exemplo simples mostrará como aplicar a Equação 4.4.
EXEMPLO
Jane Farber deposita $ 800 numa conta de poupança que paga 6% de juros compostosanualmente. Ela quer saber quanto terá ao fim de cinco anos. Substituindo VP = $ 800, i = 0,06 e n = 5 na Equação 4.4, obtemos o montante ao fim do quinto ano.
VF5 = $ 800 × (1 + 0,06)5 = $ 800 × (1,338) = $ 1.070,40
Essa análise pode ser representada numa linha de tempo da seguinte maneira:
VP = $ 800
0 1 2 3 4 5
VF5 = $ 1.070,40
Final do ano
Uso de ferramentas de cálculo para determinar o valor futuro
Resolver a equação do exemplo anterior envolve elevar 1,06 à quinta potência. Usar uma calcula- dora financeira, uma planilha eletrônica ou uma tabela de juros e valor futuro facilita bastante o cál- culo. Uma tabela que fornece os valores futuros de (1 + i)n da Equação 4.4 pode ser encontrada no fim do livro, na Tabela A-1 Apêndice. O valor de cada célula da tabela é chamado fator de valor futuro. Esse fator é o multiplicador usado para calcular, a uma taxa de juros especificada, o valor futuro de uma quantia atual para qualquer tempo dado. O fator de valor futuro para um principal inicial de $ 1 composto a i % por n períodos de tempo é chamado de FVFi,n.
Fator de valor futuro = FVFi,n = (1 + i)n (4.5)
Encontrando a interseção da taxa de juros anual, i, e do número de períodos necessário, n, você terá identificado o fator de valor futuro aplicável a um problema específico qualquer.1 Usando o FVF
i,n como fator, podemos reescrever a equação geral de valor futuro (Equação 4.4) da seguinte maneira:
VFn = VP × FVFi,n (4.6)
Essa expressão indica que, para encontrar o valor futuro ao fim do período n de um depósito original, basta multiplicar o depósito original, VP, pelo fator de valor futuro aplicável.2
1 Embora normalmente trabalhemos com anos, não períodos, as tabelas financeiras muitas vezes são apresentadas em períodos, para oferecer o máximo de flexibilidade.
2 Às vezes, queremos estimar aproximadamente por quanto tempo uma determinada soma precisa render, a uma dada taxa anual, para dobrar de valor. A Regra de 72 é usada para proceder a essa estimativa; dividindo -se a taxa anual de juros por 72, temos o número aproximado de períodos necessário para dobrar uma soma à taxa em questão. Por exemplo, dobrar uma quantia à taxa anual de 10% leva cerca de 7,2 anos (72 ÷ 10 = 7,2). A Tabela A-1 mostra que o fator de valor futuro para 10% e sete anos é pouco menos que 2 (1,949); logo, a estimativa parece estar razoavelmente precisa.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Linha de tempo do valor futuro de uma quantia única (principal inicial de $ 800 rendendo juros de 6% ao fim de cinco anos)
Fator de valor
futuro Multiplicador usado
para calcular, a uma taxa de juros estipulada, o valor de uma quantia presente em certa data futura.
152 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 152
EXEMPLO
No exemplo, anterior, Jane Farber depositou $ 800 em sua conta poupança a juros de 6% compostos anualmente e quer saber quando terá na conta ao fim de cinco anos.Uso da calculadora.3
Podemos usar a calculadora financeira para achar diretamente o valor futuro.4
Primeiro, digite $ 800 e pressione PV; depois, digite 5 e pressione N; então forneça o valor 6 e pressione I (que corresponde a “i” em nossa notação);5
por fim, para calcular o valor futuro, pressione CPT, seguido de FV. Deve surgir na tela o valor futuro de $ 1.070,58, como mostra o quadro à esquerda. Em muitas calculadoras, o valor virá precedido de um sinal nega- tivo (–1.070,58). Se sua calculadora mostrar um sinal negativo, ignore -o, tanto aqui quanto em todos os
demais exemplos de “Uso da calculadora” deste livro.6
(Obs.: nos próximos exemplos de uso da calcu- ladora, utilizaremos somente um quadro semelhante ao desta página. Se precisar de uma revisão dos procedimentos envolvidos, retorne a este parágrafo.)
Uso da planilha. O valor futuro de uma quantia única também pode ser calculado como
mostra a planilha Excel a seguir.
A B
1 VALOR FUTURO DE UMA QUANTIA ÚNICA
2 Valor presente $ 800
3 Taxa de juros, % ao ano, composta anualmente 6%
4 Número de anos 5
5 Valor futuro $ 1.070,58 O valor da Célula B5 é =FV(B3,B4,0,–B2,0)
Um sinal negativo antecede B2 porque o valor presente é uma saída (ou seja, um depósito realizado por Jane Farber).
Uso de tabelas. O fator de valor futuro de um principal de $ 1 depositado por cinco anos a
juros de 6% compostos anualmente, FVF6%, 5 ANOS, como consta da Tabela A-1, é 1,338. Usando
a Equação 4.6, $ 800 × 1,338 = $ 1.070,40. Logo, o valor futuro do depósito de Jane ao fim do quinto ano será de $ 1.070,40.
Como a calculadora e a planilha são mais precisas do que os fatores de valor futuro, que foram arredondados até a terceira casa decimal, frequentemente surgirá uma pequena diferen- ça — de $ 0,18, neste caso — entre os valores identificados por esses métodos. É evidente que a maior precisão e a facilidade de uso tendem a favorecer o emprego de calculadoras.
Uma visão gráfica do valor futuro
Lembre -se de que medimos o valor futuro ao fim do período em questão. A Figura 4.5 ilustra a relação entre as diversas taxas de juros, o número de períodos de remuneração e o valor futuro de uma unidade monetária. A figura mostra que (1) quanto maior a taxa de juros, maior o valor futuro e (2) quanto maior o prazo, maior o valor futuro. Observe que para uma taxa de juros de 0%, o valor futuro
3 Muitas calculadoras permitem que o usuário estabeleça o número de pagamentos por ano. A maioria delas é pré -configurada para pagamentos mensais — 12 por ano. Como trabalharemos principalmente com pagamentos anuais — um por ano — é importante certificar -se de que sua calculadora esteja configurada para um pagamento por ano. Embora a maioria das calculadoras esteja pro- gramada para reconhecer que todos os pagamentos ocorrem no fim do período, é importante certificar -se também de que a sua esteja corretamente configurada no modo END. Consulte o manual que acompanha a calculadora para mais instruções sobre a configuração desses valores.
4 Para evitar a interferência de dados anteriores em cálculos correntes, sempre limpe todos os registros de sua calculadora antes de digitar novos valores e proceder aos cálculos.
5 Os valores conhecidos podem ser digitados na calculadora em qualquer ordem; a ordem especificada aqui e nas demais demons- trações que incluímos neste texto são reflexo da conveniência e de preferências pessoais.
6 O cálculo diferencia as entradas das saídas, colocando um sinal negativo à frente das saídas. Por exemplo, no problema recém- -demonstrado, o valor presente de $ 800 (PV), por estar ligado a um número positivo (800), é considerado uma entrada, ou um depósito. Assim, o valor futuro calculado (FV) de –1.070,58 vem precedido de um sinal negativo para demonstrar que se trata da saída ou retirada resultante. Se o valor presente de $ 800 tivesse sido digitado como valor negativo (–800), o valor futuro de $ 1.070,58 teria sido apresentado como um número positivo (1.070.58). Simplificando, os fluxos de caixa — valor presente (PV) e valor futuro (FV) — sempre terão sinais opostos.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Dado Função 800 PV 5 N 6 I CPT FV Solução 1.070,58Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 153
Gitman-12_P2-C04.indd 153
será sempre igual ao valor presente ($ 1,00). Mas para qualquer taxa de juros maior do que zero, o valor futuro será maior do que o valor presente de $ 1,00.
Valor presente de uma quantia única
Muitas vezes é útil determinar o valor, hoje, de uma quantia futura de dinheiro. Por exemplo, quanto eu teria que depositar hoje, numa conta remunerada a 7% ao ano, para acumular $ 3.000 ao fim de cinco anos? O valor presente é o valor atual em dinheiro de um montante futuro — a quantia de dinheiro que precisaria ser investida hoje a uma dada taxa de juros e por um determinado prazo para corresponder ao montante futuro. O valor presente depende, em grande parte, das oportunidades de investimento e do momento no tempo em que o montante deve ser recebido, esta seção explorará o valor presente de uma quantia única.
O conceito de valor presente
O processo de determinação de valores presentes costuma ser chamado de desconto dos fluxos
de caixa. Trata -se de responder à seguinte pergunta: “Se posso receber i % sobre meu dinheiro, quan-
to é o máximo que eu estaria disposto a pagar, hoje, pela oportunidade de receber VFn dólares daqui a n períodos?”.
O processo, na verdade, é o inverso da composição de juros. Em vez de determinar o valor futu- ro de dólares atuais investidos a uma dada taxa, o desconto determina o valor presente de uma quan- tia futura, admitindo a oportunidade de obter determinado retorno sobre o dinheiro. Essa taxa anual de retorno pode ser chamada de taxa de desconto, retorno exigido, custo do capital e custo de opor-
tunidade.7 Esses termos serão empregados de maneira intercambiável no livro.
EXEMPLO
Paul Shorter tem a oportunidade de receber $ 300 daqui a um ano. Se ele puder, em condi-ções normais, receber 6% sobre seus investimentos, qual o valor máximo que deveria pagar por essa oportunidade? Para responder a essa pergunta, Paul deve determinar quantos dólares teria que investir a 6%, hoje, para receber $ 300 daqui a um ano. Sendo VP esse valor desconhecido e, usando a mesma equação do valor futuro, temos
VP × (1 + 0,06) = $ 300 (4.7)
Solucionando a Equação 4.7 para VP, temos a Equação 4.8:
VP = $ 300 (4.8)
(1 + 0,06) = $ 283,02
7 As bases teóricas desse “retorno exigido” serão apresentadas no Capítulo 5 e mais detalhadas nos capítulos seguintes.
Valor presente Valor
monetário corrente de uma quantia futura – o capital que precisaria ser investido hoje, a certa taxa de juros, por um período estipulado, para igualar -se à quantia futura.
Desconto dos fluxos de caixa Processo de determinação de valores presentes; é o oposto da capitalização de juros.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Taxas de juros, prazos e valor futuro de $ 1Relação de valor futuro
FIGURA
4.5
30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 1,00 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 Períodos Valor futuro de $ 1 20% 15% 10% 5% 0%154 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 154
O valor hoje ‘valor presente’ de $ 300 daqui a um ano, dado um custo de oportunidade de 6%, corresponde a $ 283,02. Ou seja, investir hoje $ 283,02, ao custo de oportunidade de 6%, resultaria em $ 300 ao fim de um ano.
Equação de valor presente
O valor presente de uma quantia futura pode ser encontrado matematicamente resolvendo a Equação 4.4 para VP. Ou seja, o valor presente, VP, de uma quantia futura qualquer, VFn, a ser rece- bido daqui a n períodos e admitindo um custo de oportunidade de i, é calculado da seguinte maneira:
VP = VFn = VF
n ×
⎡⎣
1⎤⎦
(4.9)(1 + i)n (1 + i)n
Observe a semelhança entre essa equação geral do valor presente e a do exemplo anterior (Equação 4.8). Vamos usar essa equação num exemplo.
EXEMPLO
Pam Valenti quer encontrar o valor presente de $ 1.700 que serão recebidos daqui a oitoanos. Seu custo de oportunidade é de 8%. Substituindo VF8 = $ 1.700, n = 8 e i = 0,08 na Equação 4.9, temos a Equação 4.10:
VP = $ 1.700 = $ 1.700 = $ 918,42 (4.10)
(1 + 0,08)8 1,851
A linha de tempo abaixo ilustra a análise:
VP = $ 918,42
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Final do ano
VF8 = $ 1.700
Uso de ferramentas de computação para determinar o valor presente
O cálculo do valor presente pode ser simplificado com o uso do fator de valor presente. Esse fator é o multiplicador usado para calcular, a uma determinada taxa de desconto, o valor presente de uma quantia a ser recebida num período futuro. O fator de valor presente de $ 1 descontado a i % por n períodos é conhecido como FVPi,n.
Fator de valor presente = FVPi,n = 1 (4.11)
(1 + i)n
A Tabela A-2 do Apêndice apresenta os fatores de valor presente para $ 1. Sendo FVPi,n o fator correto, podemos reescrever a equação geral do valor presente (Equação 4.9) da seguinte forma:
VP = VFn × (FVPi,n) (4.12)
A expressão indica que, para determinar o valor presente de um montante a ser recebido num período futuro, n, basta multiplicar o montante futuro, VFn, pelo fator de valor presente apropriado.
EXEMPLO
Como vimos, Pam Valenti quer determinar o valor presente de $ 1.700 a serem recebidosdaqui a oito anos, admitindo um custo de oportunidade de 8%.
Uso da calculadora. Usando as funções da calculadora financeira e os dados do quadro a
seguir, você deverá achar o valor presente de $ 918,46. O valor obtido com a calculadora é mais preciso do que os encontrados com a equação ou a tabela (a seguir) embora, para os fins deste livro, essas diferenças sejam desprezíveis.
Uso da planilha. O valor presente de uma quantia futura também pode ser encontrado
como mostra a planilha Excel a seguir.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Linha de tempo do valor presente de uma quantia única (valor futuro de $1.700 daqui a oito anos, descontado a 8%)
Fator de valor presente Multiplicador
utilizado para calcular, a uma taxa de desconto estipulada, o valor presente de uma quantia a ser recebida em um período futuro.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 155
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A B 1 VALOR PRESENTE DE UMA QUANTIA ÚNICA FUTURA
2 Valor futuro $ 1.700
3 Taxa de juros, % ao ano, composta anualmente 8%
4 Número de anos 8
5 Valor presente $ 918,46 O valor da Célula B5 é =–PV(B3,B4,0,B2)
Um sinal negativo antecede VP para transformar o valor presente em uma quantia positiva.
Uso da tabela. O fator de valor presente de 8% em oito anos, FVP8%, 8 ANOS, como consta da Tabela A-2, é 0,540. Usando a Equação 4.12, $ 1.700 × 0,540 = $ 918. O valor presente de $ 1.700 que Pam espera receber em oito anos é de $ 918.
Uma visão gráfica do valor presente
Lembre -se de que os cálculos de valor presente supõem que os valores futuros sejam medidos ao fim do período em questão. As relações entre os fatores de um cálculo de valor presente encontram -se ilustradas na Figura 4.6. A figura mostra claramente que, mantidas as demais condições, (1) quanto mais alta a taxa de desconto, menor o valor presente e (2) quanto maior o prazo, menor o valor pre- sente. Observe, ainda, que dada uma taxa de desconto de 0%, o valor presente será sempre igual ao valor futuro ($ 1,00). Mas para qualquer taxa de desconto maior que zero, o valor presente será inferior ao valor futuro de $ 1,00.
Comparação entre valor presente e valor futuro
Encerraremos esta seção com algumas observações importantes sobre os valores presentes. Em primeiro lugar, a expressão do fator de valor presente para i % e n períodos, 1/(1 + i )n, é o inverso do fator de valor futuro para i % e n períodos, (1 + i )n. Isso pode ser facilmente confirmado: basta dividir 1,0 pelo fator de valor presente para i % e n períodos, FVPi,n, dado na Tabela A-2 e comparar o resul- tado com o fator de valor futuro dado na Tabela A-1 para i % e n períodos, FVFi,n. Os dois valores devem ser iguais.
Em segundo lugar, por causa da relação entre os fatores de valor presente e os fatores de valor futuro, podemos determinar os fatores de valor presente a partir de uma tabela de juros e valor futuro, e vice -versa. Por exemplo, o fator de valor futuro (da Tabela A-1) para 10% e cinco períodos é de 1,611. Dividindo 1,0 por esse valor, temos 0,621, que é o fator de valor presente (Tabela A-2) para 10% e cinco períodos. Dado Função 1700 FV 8 N 8 I CPT PV Solução 918,46 Taxas de desconto, prazos e valor presente de $ 1
Relação de valor presente
FIGURA
4.6
Períodos 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1,00 0,75 0,50 0,25 Valor futuro de $ 1 5% 0% 15% 10% 20%156 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 156
Q U E S T Õ E S PA R A R E V I S Ã O
4-3 Como o processo de composição se relaciona com o pagamento de juros sobre poupança?
Qual a equação geral do valor futuro?
4-4 Que efeito exerce uma diminuição da taxa de juros sobre o valor futuro de um depósito?
Que efeito exerce um aumento do período de depósito sobre o valor futuro?
4-5 O que quer dizer “valor presente de uma quantia futura”? Qual a equação geral do valor
presente?
4-6 Que efeito exerce um aumento do retorno exigido sobre o valor presente de uma quantia
futura? Por quê?
4-7 Como se relacionam os cálculos de valor presente e valor futuro?
OA
3