Muitas vezes, os juros são compostos com frequência maior do que uma vez por ano. As institui- ções de poupança aplicam periodicidade semestral, trimestral, mensal, semanal, diária ou até contínua. Esta seção trata de diversas questões e técnicas relacionadas a esses intervalos de composição mais frequentes.
Composição semestral
A composição semestral de juros envolve dois períodos de composição em um só ano. Em vez de a taxa de juros declarada ser paga uma vez por ano, metade dessa taxa é paga duas vezes por ano.
EXEMPLO
Fred Moreno decidiu investir $ 100 em uma conta de poupança que rende 8% de juroscompostos semestralmente. Se ele deixar o dinheiro na conta por 24 meses (dois anos), receberá
4% de juros, compostos ao longo de quatro períodos, cada um com seis meses de duração. A Tabela 4.5 usa fatores de juros para demonstrar que, ao fim de 12 meses (um ano), com com- posição semestral a 8%, Fred terá $ 108,16; ao fim de 24 meses (dois anos), terá $ 116,99.
Composição trimestral
A composição trimestral de juros envolve quatro períodos de composição por ano. Um quarto da taxa de juros declarada é pago quatro vezes ao ano.
Composição semestral
Composição de juros duas vezes por ano.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Composição trimestral
Composição de juros quatro vezes por ano.
Ano (n) Fluxo de caixa (1) FVP9%,n a (2) Valor presente [(1) × (2)] (3) 1 $ 400 0,917 $ 366,80 2 800 0,842 673,60 3 500 0,772 386,00 4 400 0,708 283,20 5 300 0,650 195,00
Valor presente da série mista $ 1.904,60
a Os fatores de valor presente a 9% são os constantes da Tabela A-2.
Valor presente de uma série mista de fluxos de caixa
T ABELA
4.4
Período Principal inicial (1)Fator de valor futuro (2)
Valor futuro ao fim do período [(1) × (2)] (3)
6 meses $ 100,00 1,04 $ 104,00
12 meses 104,00 1,04 108,16
18 meses 108,16 1,04 112,49
24 meses 112,49 1,04 116,99
Valor futuro do investimento de $ 100 a 8% de juros compostos semestralmente durante 24 meses (dois anos)
T
ABELA
4.5
168 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 168
EXEMPLO
Fred Moreno encontrou uma instituição que lhe oferece 8% de juros compostos trimestralmen-te. Se deixar o dinheiro nessa conta por 24 meses (dois anos), receberá 2% de juros compostos
ao longo de oito períodos, cada um de três meses de duração. A Tabela 4.6 usa fatores de juros para demonstrar o quanto Fred terá ao fim de cada período. Ao fim de 12 meses (um ano), com composição trimestral a 8%, Fred terá $ 108,24; ao fim de 24 meses (dois anos), terá $ 117,17.
A Tabela 4.7 compara os valores dos $ 100 de Fred Moreno ao fim do primeiro e do segundo ano, considerando os períodos de composição anual, semestral e trimestral, à taxa de 8%. Como se vê,
quanto maior a frequência de composição de juros, maior o montante acumulado. Isso se aplica a qualquer taxa de juros e qualquer período.
Equação geral para composição com frequência maior do que a
anual
A fórmula de fator de juros de composição anual (Equação 4.5) pode ser reescrita para aplicar -se a períodos de composição mais frequentes. Se m for o número de vezes ao ano em que os juros são compostos, a fórmula de fator de juros para composição anual pode ser reescrita como
FVFi,n =
⎛⎝
1 + i⎞
m × n⎠
(4.20)m
A equação básica de valor futuro (Equação 4.4) pode, então, ser reescrita como
VFn = VP ×
⎛⎝
1 + i⎞
m × n⎠
(4.21) mEXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Período Principal inicial (1)Fator de valor futuro (2)
Valor futuro no final do período [(1) × (2)] (3) 3 meses $ 100,00 1,02 $ 102,00 6 meses 102,00 1,02 104,04 9 meses 104,04 1,02 106,12 12 meses 106,12 1,02 108,24 15 meses 108,24 1,02 110,41 18 meses 110,40 1,02 112,62 21 meses 112,61 1,02 114,87 24 meses 114,86 1,02 117,17
Valor futuro do investimento de $ 100 a juros de 8% compostos trimestralmente por 24 meses (dois anos)
T
ABELA
4.6
Período de composição
Final do ano Anual Semestral Trimestral
1 $ 108,00 $ 108,16 $ 108,24
2 116,64 116,99 117,17
Valor futuro no final do primeiro e do segundo ano do investimento de $ 100 a juros de 8% compostos a diferentes intervalos
T
ABELA
4.7
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 169
Gitman-12_P2-C04.indd 169
Se m = 1, a Equação 4.21 se reduz à Equação 4.4. Assim, se os juros forem compostos anualmen- te (uma vez por ano), a Equação 4.21 fornecerá os mesmos resultados que a Equação 4.4. O uso geral da Equação 4.21 pode ser ilustrado com um exemplo simples.
EXEMPLO
O exemplo anterior calculou o montante que Fred Moreno teria ao fim de dois anos, sedepositasse $ 100 a juros de 8% compostos semestral e trimestralmente. Para a composição semestral, m seria dois na Equação 4.21; para a composição trimestral, m seria igual a quatro. Substituindo os valores de composição semestral e trimestral na Equação 4.21, temos que
1. Para composição semestral:
VF2 = $ 100 ×
⎛⎝
1 + 0,08⎞
2 × 2⎠
= $ 100 × (1 + 0,04)4 = $ 116,992 2. Para composição trimestral:
VF2 = $ 100 ×
⎛⎝
1 + 0,08⎞
4 × 2⎠
= $ 100 × (1 + 0,02)8 = $ 117,174
Esses resultados condizem com os valores de VF2 das tabelas 4.5 e 4.6.
Se os juros fossem compostos mensal, semanal ou diariamente, m seria 12, 52, ou 365, respecti- vamente.
Uso de ferramentas de computação para composição com frequência
maior do que a anual
Podemos usar os fatores de valor futuro para um dólar, constantes da Tabela A-1, quando os juros são compostos m vezes ao ano. Em vez de indexar a tabela para i % e n anos, como fazemos quando os juros são compostos anualmente, a indexamos para (i ÷ m)% e (m × n) períodos. Mas a tabela não será tão útil porque só inclui determinadas taxas para um número limitado de períodos. Por isso cos- tuma ser necessário recorrer a uma calculadora financeira ou planilha.
EXEMPLO
Fred Moreno queria encontrar o valor futuro de $ 100 investidos a 8% de juros compostostanto semestral quanto trimestralmente por dois anos. O número de períodos de composição m, a taxa de juros (i ÷ m) e o número de períodos (m × n) usados, juntamente com o fator de valor futuro, são: Período de composição m Taxa de juros (i ÷ m) Períodos (m × n)
Fator de valor futuro segundo a Tabela A-1
Semestral 2 8% ÷ 2 = 4% 2 × 2 = 4 1,170 Trimestral 4 8% ÷ 4 = 2% 4 × 2 = 8 1,172
Uso da calculadora. Se usássemos uma calculadora para determinar a composição semes-
tral, o número de períodos seria quatro, e a taxa de juros, 4%. O valor futuro de $ 116,99 sur- girá na tela da calculadora, como se vê ao lado.
Para o caso de composição trimestral, o número de períodos seria oito, e a taxa de juros, 2%. Surgirá na tela da calculadora o valor futuro de $ 117,17, como se vê no segundo quadro ao lado.
Uso da planilha. O valor futuro de uma quantia única com composição semestral e trimes-
tral também pode ser calculado como mostra a planilha Excel a seguir.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Dado Função 100 PV 4 N 4 I CPT FV Solução 116,99 Dado Função 100 PV 8 N 2 I CPT FV Solução 117,17170 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 170
A B
1 VALOR FUTURO DE UMA QUANTIA ÚNICA COM COMPOSIÇÃO SEMESTRAL E TRIMESTRAL
2 Valor presente $ 100
3 Taxa de juros, % ao ano, compostos semestralmente 8%
4 Número de anos 2
5 Valor futuro com composição semestral $ 116,99
6 Valor presente $ 100
7 Taxa de juros, % ao ano, compostos trimestralmente 8%
8 Número de anos 2
9 Valor futuro com composição trimestral $ 117,17 O conteúdo da Célula B5 é = FV(B3/2,B4*2,0,–B2,0).
O conteúdo da Célula B9 é = FV(B7/4,B8*4,0,–B2,0).
Um sinal negativo antecede B2 porque o valor presente é uma saída de caixa (ou seja, um depósito feito por Fred Moreno).
Uso de tabelas. Multiplicar cada um dos fatores de valor futuro pelo depósito inicial de
$ 100 resulta num valor de $ 117,00 (1,170 × $ 100) para a composição semestral e de $ 117,20 (1,172 × $ 100) para a trimestral.
Comparando os resultados obtidos com a calculadora, a planilha e a tabela, vemos que os valores da calculadora e da planilha condizem com os da Tabela 4.7, porém mais precisos, pois os fatores da tabela estão arredondados.
Composição contínua
Em casos extremos, os juros podem ser compostos continuamente. A composição contínua envol- ve composição a cada microssegundo — o menor intervalo de tempo imaginável. Nesse caso, m da Equação 4.20 tenderia ao infinito.
Usando cálculo, sabemos que à medida que m se aproxima do infinito, a equação se torna
FVFi,n (composição contínua) = ei × n (4.22)
onde e é a função exponencial,10 de valor 2,7183. O valor futuro da composição contínua é,
portanto,
VFn (composição contínua) = VP × (ei × n) (4.23)
EXEMPLO
Para encontrar o valor ao fim de dois anos (n = 2) do depósito de $ 100 (VP = $ 100) de FredMoreno numa conta que paga 8% de juros anuais (i = 0,08) compostos continuamente, podemos substituir na Equação 4.23:
FV2 (composição contínua) = $ 100 × e0,08 × 2
= $ 100 × 2,71830,16
= $ 100 × 1,1735 = $ 117,35
Uso da calculadora. Para encontrar esse valor usando a calculadora, precisamos primeiro
encontrar o valor de e0,16
, digitando 0,16 e pressionando 2nd
e ex
para achar 1,1735. Em seguida, multiplicamos esse valor por $ 100 para chegar ao valor futuro de $ 117,35, como se vê ao lado. (Obs.: em algumas calculadoras, pode não ser necessário pressionar 2nd
antes de ex
.)
Uso da planilha. O valor futuro de uma quantia única com composição contínua do depó-
sito de Fred também pode ser calculado como mostra a planilha Excel a seguir.
10 A maioria das calculadoras financeiras traz a função exponencial, geralmente indicada por ex. Essa tecla é de especial utilidade
quando se calcula o valor futuro sob juros compostos continuamente.
Composição contínua
Composição de juros infinitas vezes por ano em intervalos de microssegundos.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
Dado Função 0,16 2nd ex 1,1735 100 × = Solução 117,35Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 171
Gitman-12_P2-C04.indd 171
A B
1 VALOR FUTURO DE UMA QUANTIA ÚNICA COM COMPOSIÇÃO CONTÍNUA
2 Valor presente $ 100
3 Taxa de juros anual, composta continuamente 8%
4 Número de anos 2
5 Valor futuro com composição contínua $ 117,35 O valor da Célula B5 é = B2*EXP(B3*B4)
O valor futuro com composição contínua, portanto, é de $ 117,35. Como era de se esperar, o valor composto continuamente é maior do que o valor futuro com juros compostos semestral- mente ($ 116,99) ou trimestralmente ($ 117,17). A composição contínua resulta num valor futuro maior do que o da composição com frequência maior do que anual, a uma dada taxa e por um determinado período de tempo.
Taxas de juros anuais nominais e efetivas
Empresas e investidores precisam fazer comparações objetivas de custo de crédito ou retorno do investimento ao longo de diferentes períodos de composição. Para igualar as taxas de juros e, assim, permitir comparação, distinguimos taxas nominais e efetivas de juros. A taxa anual nominal, ou decla-
rada, é a taxa anual de juros contratada e cobrada por um credor ou prometida por um tomador. A taxa anual efetiva, ou verdadeira (TAE), é a taxa anual de juros efetivamente paga ou recebida. A taxa
anual efetiva reflete os efeitos da frequência de composição, ao passo que a taxa anual nominal não o faz.
Usando a notação anteriormente apresentada, podemos calcular a taxa anual efetiva, TAE, subs- tituindo os valores da taxa anual nominal, i, e da frequência de composição, m, na Equação 4.24:
TAE =
⎛
⎝
1 + i⎞
m
⎠
– 1 (4.24)m
Podemos aplicar essa equação, usando dados de exemplos anteriores.
EXEMPLO
Fred Moreno deseja encontrar a taxa anual efetiva associada a uma taxa anual nominal de8% (i = 0,08) quando os juros são compostos com periodicidade (1) anual (m = 1); (2) semestral (m = 2); e (3) trimestral (m = 4). Substituindo esses valores na Equação 4.24, temos
1. Para composição anual:
TAE =
⎛
⎝
1 + 0,08⎞
1
⎠
– 1 = (1 + 0,08)1 – 1 = 1 + 0,08 – 1 = 0,08 = 8%1 2. Para composição semestral:
TAE =
⎛⎝
1 + 0,08⎞
2⎠
– 1 = (1 + 0,04)2 – 1 = 1,0816 – 1 = 0,0816 = 8,16%2 3. Para composição trimestral:
TAE =
⎛
⎝
1 + 0,08⎞
4
⎠
– 1 = (1 + 0,02)4 – 1 = 1,0824 – 1 = 0,0824 = 8,24%4
Esses valores demonstram dois pontos importantes: o primeiro é que as taxas anuais nominal e efetiva são equivalentes quando a composição é anual. O segundo é que a taxa anual efetiva aumenta com a frequência de composição, até o limite atingido com a composição contínua.11 11 A taxa anual efetiva para esse caso extremo pode ser encontrada com a seguinte equação:
TAE (composição contínua) = ei – 1 (4.24a)
Para a taxa anual nominal de 8% (i = 0,08), a substituição na Equação 4.24a resulta numa taxa anual efetiva de e0,08 – 1 = 1,0833 – 1 = 0,0833 = 8,33%
para o caso de composição contínua. Essa é a taxa anual efetiva mais elevada que se pode obter com uma taxa nominal de 8%.
Taxa anual nominal (declarada) Taxa anual
contratada de juros cobrada por um fornecedor de fundos ou prometida por um tomador.
Taxa anual efetiva (verdadeira — TAE) Taxa
anual de juros realmente paga ou recebida.
EXEMPLO
DE FINANÇAS
PESSOAIS
172 Princípios de administração financeira
Gitman-12_P2-C04.indd 172
Veja no quadro Foco na ética um exemplo de TAE ligado a empréstimos contra salário e uma discussão de seus aspectos éticos.
No nível do consumidor, a legislação da ‘transparência no crédito’ exige divulgação, nos contra- tos de empréstimo e de cartão de crédito, da taxa anual percentual (TAP). A TAP é a taxa anual nomi-
nal que pode ser encontrada multiplicando -se a taxa periódica pelo número de períodos no ano. Por
exemplo, um cartão de crédito que cobre 1,5% ao mês (a taxa periódica) teria TAP de 18% (1,5% ao mês × 12 meses por ano).
As leis de ‘transparência nas aplicações em poupança’, por outro lado, exigem que os bancos divulguem em seus produtos de poupança o rendimento anual percentual (RAP). O RAP é a taxa anual efetiva que rende um produto de poupança. Por exemplo, uma conta de poupança que pague 0,5% ao mês teria RAP de 6,17% [(1,005)12 – 1].
A cotação de taxas de juros de empréstimo à taxa anual nominal (TAP), mais baixa, e do rendi- mento de taxas de poupança à taxa anual efetiva (RAP), mais elevada, oferece duas vantagens: tende a padronizar a comunicação com os consumidores e permite que as instituições financeiras cotem taxas de juros mais atraentes: baixas taxas para empréstimo e elevadas taxas para poupança.
Taxa anual percentual (TAP) A taxa anual nominal de
juros obtida multiplicando -se a taxa periódica pelo número de períodos em um ano, que deve ser divulgada aos consumidores com cartões de crédito e empréstimos, por força das ‘leis de transparência em financiamento’.
Rendimento anual percentual (RAP) A taxa
anual efetiva de juros, que deve
ser divulgada pelos bancos a seus clientes em produtos de poupança, por força das ‘leis de transparência em poupança’.
Em 1993 foi aberta a primeira loja da rede Check Into Cash, em Cleveland, Tennessee. Hoje há nos Estados Unidos 1.250 pontos da Check Into Cash dentre um número esti mado de 22 mil credores por adiantamento salarial. Não há dú vida quanto à demanda por organizações desse tipo, mas discute- -se a ‘justiça’ dos empréstimos contra salários.
Um empréstimo contra salário é um pequeno empréstimo sem garantia e de curto prazo, que vai de $ 100 a $ 1.000 (dependendo do Estado) e oferecido por um concedente como a Check Into Cash. Esse tipo de empréstimo pode resolver problemas temporários de fluxo de caixa, evitando a devolução de cheques ou multa de mora. Para obter um empréstimo desse tipo, os tomadores simplesmente emitem um cheque pré -datado no valor desejado, acrescido da tari- fa de crédito. A Check Into Cash fica com os cheques até o dia do pagamento do salário, quando então são resgatados pessoalmente pelo devedor, ou apresentados ao banco para pagamento.
Embora os tomadores desses empréstimos normalmente paguem uma tarifa fixa em vez de juros, é o valor dessa tarifa em relação ao empréstimo que incomoda os críticos da modalidade. A tarifa típica é de $ 15 por $ 100 adianta- dos. As empresas concedentes de empréstimos contra salá- rios que pertencem à Community Financial Services Association of America (CFSA), uma organização dedicada à promoção da regulação responsável do setor, impõem a seus membros um limite de rolagem de quatro vezes a quantia original- mente tomada. Assim, um tomador que tenha rolado um empréstimo inicial de $ 100 pelo máximo de quatro vezes, acumularia um total de $ 75 em tarifas num período de dez semanas. Anualizada, a tarifa atingiria exorbitantes 391%.
Uma taxa anual de 391% é um custo enorme em com- paração com os juros cobrados sobre empréstimos imobiliá-
rios, crédito pessoal e até cartões de crédito. Mas os defen- sores do setor oferecem os seguintes argumentos: a maioria das pessoas que toma esses empréstimos o faz porque não há recursos disponíveis por meio de empréstimos conven- cionais, ou porque o empréstimo contra salário evita uma multa ou tarifa bancária, que seria onerosa. Segundo a Check Into Cash, o custo de $ 100 no cheque especial é de $ 26,90, uma multa de mora sobre $ 100 no cartão de crédito é de $ 37 e a taxa de atraso/desligamento sobre uma conta de água ou luz de $ 100 é de $ 46,16. A Bankrate.com relata que as tarifas por insuficiência de fundos são, em média, de $ 26,90 por ocorrência.
Um empréstimo contra salário poderia ser útil, por exemplo, se você tivesse seis cheques na praça no momen- to em que fosse informado de que o primeiro deles foi devolvido por insuficiência de fundos e de que lhe havia sido cobrada uma tarifa de $ 26. Um empréstimo desse tipo evitaria encargos subsequentes de $ 26 para cada um dos cinco cheques restantes e ainda lhe daria tempo para colo- car suas finanças em ordem. Bem usado, o empréstimo contra salário pode ser uma opção viável para enfrentar um problema de fluxo de caixa de curto prazo, apesar do alto custo. Usados de maneira irresponsável, ou por alguém que dependa constantemente da modalidade para pagar as con- tas, esses empréstimos podem causar sérios danos às finan- ças pessoais.
Os 391% de que fala o texto são uma taxa anual nominal [15% × (365/14)]. Essa taxa quinzenal (15%) deveria ser composta para calcular a efetiva?
Na pr
á
tica
FOCO NA ÉTICA
O “Check Into Cash” é justo?
Capítulo 4 – Valor do dinheiro no tempo 173
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Q U E S T Õ E S PA R A R E V I S Ã O
4-14 Qual o efeito da composição de juros com frequência maior que a anual sobre (a) o valor
futuro e (b) a taxa anual efetiva (TAE)? Por quê?
4-15 Como o valor futuro de um depósito sujeito à composição contínua se compara com o valor
obtido com a composição anual?
4-16 Distinga entre uma taxa anual nominal e uma taxa anual efetiva (TAE). Defina taxa anual
percentual (TAP) e rendimento anual percentual (RAP).
OA
6
4.6