267Capítulo 10 • Estática dos corpos rígidos – Máquinas simples

• Calculando a medida do braço da força (verifique a equivalência entre esse processo e o anterior), obtemos, do triângulo ABC (figura 10.8).

Vejamos agora algumas importantes considerações sobre o momento de uma força:

Para aplicarmos as condições de equilíbrio de rotação é necessário adotarmos uma convenção de sinais para momen- tos. Os esquemas da figura 10.9 ilustram como ficam as ex- pressões algébricas para o cálculo dos momentos de uma das forças coplanares F &1 e F &2 em relação ao polo O.

Temos que: MIF1 5 F1 ? d1 . 0 e MIF2 5 2F2 ? d2 , 0

Figura 10.9 Convenção de sinais para os momentos das forças. polo O d 1 d 2 O polo – + F 1 & F 2& F 1&

linha de ação de F&1

F

2&

linha de ação de F&2

O momento resultante de um sistema de forças, em relação a um polo, é obtido pela soma algébrica dos momentos de cada uma das forças, em relação a esse mesmo polo (MIR 5 ΣMI).

Quando um corpo rígido, sujeito à ação simultânea de várias forças, encontra-se em equilíbrio, temos as seguintes condições (as duas devem ser satisfeitas):

F &1 1 F &2 1 ... 1 F &n 5 O& → Equilíbrio translacional (centro de massa em repouso ou em MRU).

Mi1 1 Mi2 1 ... 1 Min 5 O → Equilíbrio rotacional (repouso ou

rotação uniforme). Se for escolhido arbitrariamente um polo para o cálculo dos momentos, as duas condições serão satisfeitas; então o somatório dos momen- tos será nulo em relação a qualquer outro polo. A figura 10.10 mostra um arranjo experimen- tal utilizado para verificar que, no equilíbrio, o somatório dos momentos é nulo. Observe que a barra graduada pela sequência alternada de cores está em equilíbrio (indicado pelo ponteiro abaixo da barra). As duas massas, uma colo- cada a uma distância 2d do centro da barra e a outra colocada a uma distância 10d, têm o somatório dos momentos (devidos aos pesos dos corpos) em relação ao centro da barra igual a zero.

Figura 10.8 Obtendo o braço da força F &. linha de ação de F&

polo A O a α d C B F&

Figura 10.10 Barra em equilíbrio sob a ação de dois pesos diferentes e a força aplicada pelo apoio central.

Ilustrações: F ormato/Arqui vo da editora Acerv o do autor/Arqui v o da editora FacesDaFisica_Fisica_v1_PNLD2015_260a281_u4c10.indd 267 4/8/13 11:22 AM

Figura 10 - Quinta página referente a “Torque/Momento de uma força” - Física 1 Ensino Médio (Ed. Ática).

Unidade 4 • O homem e as máquinas

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Exercícios Exercício resolvido

1. Agnaldo dispõe de um tênis velho e um cabo de vas- soura com 1,60 m de comprimento; ele verificou em uma balança precisa que a massa do tênis (incluindo o cadarço) e a do cabo de vassoura são iguais. Ele, então, mostra que é capaz de segurar o conjunto formado pelo tênis amarrado à extremidade do cabo de vassoura com apenas um dedo, conforme ilustra a figura a seguir. O cabo de vassoura pode ser conside- rado um cilindro homogêneo, cujo centro de massa é o ponto M.

M P Q

a) Como o cabo de vassoura pode ficar em equilíbrio se só há um objeto dependurado à direita do dedo do estudante?

b) Se o peso do tênis é de 2 N, qual é a força que o estudante aplica no cabo de vassoura?

c) Qual é a abscissa do centro de massa do sistema tênis-cabo, considerando o ponto M como origem do eixo das abscissas orientado para a direita? Resolução

a) À esquerda do dedo de Agnaldo está o centro de massa do cabo, no qual podemos considerar con- centrada a força peso desse objeto. Dessa forma, analisando as forças que agem no cabo, podemos fazer o diagrama seguinte.

M Pb Pt

P F

Q b) Como o somatório das forças é nulo, temos:

F 2 2 2 2 5 0 ⇒ F 5 4 N

c) A abscissa do centro de massa, com a referência proposta, é:

xCM 5 0 ? 1 1 1 ? 0,82 ⇒ xCM 5 0,4 m É nessa abscissa que o estudante está sustentando

o sistema.

1. Pedro construiu uma engenhosa gangorra na qual ele pode brincar sozinho ou com algum colega. A tábua usada por ele é uniforme e pesa 60 N em cada metro linear.

As figuras seguintes ilustram as duas situações. Na primeira, Pedro está em equilíbrio na gangorra, sozinho; na segunda, um colega com massa igual à dele está do outro lado, e o sistema também está em equilíbrio.

1 m 1 m 4 m

2 m x 3 m

a) Qual é a massa de Pedro?

b) Qual é a distância entre o pivô da gangorra e o colega de Pedro, na segunda situação?

2. Na figura a seguir, vemos uma ferramenta conhecida como pé de cabra sendo utilizada por um carpinteiro para extrair um prego.

2 cm

O

50 cm

F&

Considerando-se que na situação apresentada o prego esteja na iminência de ser extraído, que os braços das forças em relação ao pivô O sejam os mostrados na figura e que a força aplicada pelo carpinteiro seja de 50 N, qual é a intensidade da força que o pé de cabra está aplicando no prego?

atenção! Não escreva no seu livro! Ilustrações: F ormato/Arqui vo da editora FacesDaFisica_Fisica_v1_PNLD2015_260a281_u4c10.indd 268 4/8/13 11:22 AM

Fonte: Editoras Ática e Scipione.

b) Páginas referentes ao tema “máquinas simples”:

Figura 11 - Primeira e segunda páginas referentes a “Máquinas simples” - Física 1 Ensino Médio (Ed. Ática).

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Capítulo 10 • Estática dos corpos rígidos – Máquinas simples

Física História tem Física História tem 2 Máquinas simples

Estamos tão habituados a utilizar uma tesoura, um alicate, um abridor de garrafas, um carrinho de mão, uma pinça ou uma simples vassoura que, às vezes, temos a impressão de que eles sempre existiram. A origem de muitas das ferramentas que usamos hoje coincide com a própria origem da espécie humana.

Na chamada Revolução Agrícola, iniciada há cerca de 10 mil anos, provavelmente na região de Jericó, junto ao mar Morto, “a principal ferramen- ta de escavação era um pedaço de pau com a ex- tremidade afiada e endurecida ao fogo. Esse peda- ço de pau figura entre as invenções fundamentais na história da raça humana – mais importante que o trator – e serviu aos lavradores em várias partes do mundo por milhares de anos”, diz o historiador Geoffrey Blainey (1930-), em Uma breve história do

mundo (São Paulo: Fundamento, 2008). A invenção da roda, provavelmente em 4000 a.C., na Mesopotâmia, foi um dos passos mais impor- tantes no desenvolvimento da civilização. A sua importância é tão grande, que alguns historiadores ousam dizer que a roda é a máquina simples que pode ser considerada a origem da Mecânica.

No Egito, na época dos faraós, por volta de 3000 a.C., já se usavam as alavancas na captação das águas do rio Nilo. Nas construções das gran- des pirâmides, os egípcios, além das alavancas, usavam também a rampa e o guindaste.

E o que dizer da tesoura, do alicate, da pinça e do quebra-nozes, que nada mais são do que modalidades de alavancas, cujas diferenças es- tão na localização do ponto de apoio?

Os primeiros registros históricos de um obje- to com as características de uma tesoura datam de 1500 a.C., no Egito. Por volta do ano 100 d.C. as tesouras, com o formato atual de lâminas, eram usadas pelos romanos para cortar cabelos e tecidos, tosquiar animais e podar árvores. A partir de 1750, com as lâminas de aço, sua popu- laridade cresceu rapidamente.

A invenção do alicate remonta a 2000 a.C. Construído, inicialmente, para trabalhos com o ferro em fundições, o alicate tornou-se, em nossos dias, uma das ferramentas mais versáteis que o ser humano utiliza nas tarefas diárias.

Acredita-se que a pinça, como instrumento cirúrgico, tenha sido fabricada desde a Antiguida- de. Na Grécia e em Roma, médicos desenvolveram vários instrumentos, como o bisturi, o fórceps e a pinça, a partir do bronze, do ferro e da prata.

Em relação ao quebra-nozes, um estudo rea- lizado em 2006 por uma equipe de pesquisadores luso-japonesa na floresta de Bossou, na Guiné- -Conakry, levou à descoberta de um quebra-nozes, constituído por quatro elementos de pedra, um complexo objeto construído por chimpanzés sel- vagens. Segundo esses cientistas, essa descober- ta confirma “as semelhanças entre as ferramen- tas de pedra criadas pelos chimpanzés e os artefatos de pedra usados pelos primeiros homi- nídeos, há 2,5 a 2,6 milhões de anos”.

Ciência Hoje, Investigadora portuguesa descobre quebra-nozes complexo feito por chimpanzés, Lisboa, 29/5/2008.

Reúna-se em um grupo de três a cinco colegas, sob orientação do professor, e discutam as seguintes questões:

1. Qual a finalidade das primeiras ferramentas inventadas pelo ser humano?

2. Qual o papel das ferramentas na manutenção da vida do ser humano?

3. Há alguma relação entre o aparecimento das ferramentas e a evolução da espécie humana? trabalho em equipe Coleção Stapleton, L ondres/foto: The Bridgeman Ar t Library/K eystone

O ser humano precisou desenvolver ferramentas para a sua sobrevivência.

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Unidade 4 • O homem e as máquinas

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Alavancas

De modo bem abrangente, qualquer objeto que nos auxilie na realização das tarefas em geral pode ser considerado uma máquina. Sob esse ponto de vista, nossos braços ou nossas pernas também são máquinas.

No funcionamento de todas as máquinas, estão presentes as leis da Física (como em tudo, neste Universo). Em particular aquelas que envolvem os princípios básicos da Mecânica são chamadas de máquinas simples.

A alavanca é uma das máquinas simples mais antigas. Trata-se de um dispositivo constituído de uma barra rígida que pode girar em torno de um ponto fixo. A alavanca apresenta três pontos básicos: entrada, onde é aplicada a força potente F &p; apoio (ponto fixo), chamado de pivô ou

polo O; e saída, onde está aplicada a força resistente F &R. Em geral, a posição do ponto de apoio (pivô O) determina se a alavanca é multiplicadora de força ou de movimento, conforme mostram as figuras 10.11 e 10.12.

Para a classificação das alavancas, observamos qual é a ação em seu ponto intermediário – o pivô –, a força potente ou a força resistente. Por essa razão, o nome de cada uma das três classes começa sempre com “inter”.

Alavanca interfixa

Na figura 10.13.a, o operador equilibra o corpo de peso P com o uso de uma alavanca. Observe, pela posição da mão do operador, que a força por ele aplicada é para baixo. As forças que agem nessa alavanca são as representadas na figura 10.13.b.

Ilustrações: F

ormato/Arqui

vo da editora

Figura 10.13 Ação do operador em uma alavanca interfixa (a). Esquema das forças e a tendência de rotação que cada uma provoca (b).

Considerando o equilíbrio, vamos calcular os momentos em relação ao polo O (pivô).

ΣM 5 0 ⇒ Fp ? D 5 Fr ? d Como a resultante é nula, temos: N 5 Fp 1 Fr; portanto, a força no pivô é a de maior intensidade. Por essa razão, o ponto de apoio desse tipo de alavanca deve ser bastante resistente, pois é o ponto sujeito ao maior esforço.

Figura 10.11 Alavanca multiplicadora de força.

O F r F p & &

Figura 10.12 Alavanca multiplicadora de movimento.

O F p & Fr& D A O B d N& D O A B d F p & Fr& a b FacesDaFisica_Fisica_v1_PNLD2015_260a281_u4c10.indd 270 4/8/13 11:22 AM

Figura 12 - Terceira e quarta páginas referentes a “Máquinas simples” - Física 1 Ensino Médio (Ed. Ática).

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