A fase final da Metafísica platônica: a doutrina das idéias-números ou números ideais.

A) Elementos preparatórios e alusões à teoria nos diá­

logos platônicos:

a) Necessidade da existência dos números-iãéias, ar­

quétipos dos números m atemáticos. — E não poderia con­

sentir. . . que se juntar um 1 a outro 1, ou o 1 que recebeu a adição se transforme em 2, ou o adicionado, em virtude desta adição do um ao outro se transforme em 2. De fato, não entendo que se, quando estavam separados um do outro, cada um era 1 e não 2, depois, apenas aproximados entre si, êste encontro que consiste em aproximar-se entre si seja a causa da sua transformação em 2. E nem ainda se se dividir um 1, posso persuadir-me de que essa divisão seja a causa do seu transformar-se em 2; pois é justamente a causa contrária à de transformar-se em 2 no outro caso (Fédon, 96 e 97 b). E terás cautela ao dizer que, juntando 1 a 1, a soma seja a causa da sua transformação em 2, ou dividindo (o 1) a divisão seja a causa do mesmo efeito e pro­ clamarás bem alto que não sabes de que outra maneira possa gerar-se qualquer cousa se não com o participar da essência própria de cada espécie da qual participe. E nestes casos dirás que a causa do transformar-se em 2 não é outra senão a participação à díade, e que desta devem participar as cousas que têm que transformar-se em 2, e da mônada as que têm que transformar-se em 1; e estas divisões e adi­ ções e as outras sutilezas do mesmo gênero tu as deixarás de lado (Fédon, 101 bc).

[Platão, pois, não crê, como os pitagóricos, que a série dos números se construa por meio de operações m atem áticas: os núm eros matemáticos para êle existem só por participação nos arquétipos ideais, diversos entre si qualitativamente, e por isso não adicionáveis entre si e não deriváveis * uns dos outros por meio das somas, subtrações, multiplicações e divisões.

Assim, para êle, há: 1) os núm eros ideais; 2) os m atem áticos; 3) as cou­ sas sensíveis numeráveis. A superioridade da dialética (Ciência das idéias)

sôbre a Matemática, na hierarquia das ciências, perm anece tam bém com a teoria dos núm eros ideais: e não é para se m aravilhar ao encontrá-la man­ tida nos diálogos até as Leis.

Mas a exigência do arquétipo ideal para o núm ero matemático, afir­ mada aqui no Fédon, poderia fazer pensar em um a série de núm eros ideais infinita como a dos m atem áticos. Sabemos, no entanto, por Aristóteles (Física, III, 6, 206; e Metafísica, X III, 8, 1084), que Platão a lim ita à dé­ cada, fazendo derivar desta a série das cousas. Como? A explicação acha-se aqui em Fédon, 101 ab, onde P latão repele a adição e a subtração como causa das distinções do m aior e do m enor nas grandezas e nos núm eros matemáticos, e dá como causa destas distinções a sua participação nas idéias do grande e do pequeno, do m ais e do menos, isto é, da dualidade infinita, que tam bém Aristóteles, Metafísica, 987 b, nos diz que foi esco­ lhida por Platão, p ara dela extrair, como de um a m atéria plasmável, todos os números, com exceção dos prim eiros, que são, precisam ente, os núm eros ideais da década.

Além disso, deve recordar-se tam bém que, p ara Platão, tôda idéia é una e m últipla ao mesmo tempo, porque é unidade de notas e de espécies e é pluralidade delas: daí a conclusão de que cada idéia dá lugar a uma multiplicidade infinita de participações, e vem a ter, como seus elementos, o uno e o múltiplo, o limite e o infinito].

b) Uno e múltiplo, lim ite e infinito como elementos

das idéias: o infinito como díade do mais e do menos. Não

me pareceria estranho. . . se alguém demonstrasse que tôdas as cousas são um porque participam do uno, e que estas mesmas são multíplices porque, vice-versa, participam da multidão; mas se se me mostrar que o que é um (a idéia) êsse mesmo é múltiplo, e que êstes mesmos múltiplos são um, isto sim me causaria admiração (Parm ên., 129 b).

Como en tã o . . . sendo cada uma (idéia) sempre uma e m e s m a .. . finíssima em sua unidade, se deva supor ao mesmo tempo espargida nas cousas geradas e infinitas, multiplican­ do-a, e totalmente inteira por si, separadamente: eis o que me parece a maior impossibilidade: isto é, que o idêntico e o uno se geram juntam ente em uma cousa e em muitas ao mesmo tempo (Filebo, 15 b). Mas os antigos, que valiam mais do que nós e estavam mais perto dos Deuses, transmi­ tiram-nos o seguinte oráculo: que os sêres dos quais se diz que existem eternamente (as idéias), resultam do um e do múltiplo, e têm congênitos, em si mesmos, o limite e o in­ finito (Filebo, 16 c).

O um, pois, sendo um, é de certo modo, uno e múltiplo, e tudo e parte e finito e infinito de multidão (Parmên., 145 a). É necessário, porém, . .. n ã o aplicar a idéia do in­

finito à pluralidade, antes de haver reconhecido, para ela, o número que se acha no meio da infinidade e da unidade

(Filebo, 16 c). Considera o mais quente o mais frio: antes

de tudo, se puderes pensar nêles alguma vez como um têr- mo, ou então o mais e o menos, inerentes a estas duas idéias, enquanto estejam nelas, não impedem que haja um têr- m o . . . A razão mostra que não têm têrmo; e, sendo sem têrmo são, em tudo e por tudo in fin itos. . . Vê se da natu­ reza do infinito não aceitaremos esta contra-senha, o se­ guinte . . . que tôdas as cousas que nos parecem tornar mais e menos, e admitir o forte e o fraco, e o muito e outras qualidades semelhantes, é necessário colocar tôdas no gê­ nero do infinito (Filebo, 24 a 25 c).

[Assim, frente à unidade que se identifica com o limite, a natureza do infinito está determ inada como dualidade ou díade do m ais e do menos. Dêstes dois elementos, que se reconhecem em tôda idéia, constituem-se todos os núm eros],

c) Número, harmonia e proporção nos arquétipos da

alm a universal e do cosmos: a construção dêstes arquétipos regulada pelos números. Quando Deus começou a ordenar

o universo, o f o g o .. . a terra e o ar e a á g u a .. . antes de tudo, dotou-os de formas e de números (Timeu, 53 ab).

[Refere-se às form as de poliedros regulares, decomponíveis em triângu­ los, nos quais são criados os elementos, e aos núm eros e proporções em que é criada a ordem cósmica. Veja-se, sôbre isto, o cap. seguinte].

O mais belo dos liames é aquêle que de si mesmo e das cousas ligadas faz absolutamente um a só cousa, e a pro­ porção é apropriada para fazer isto do melhor modo {Timeu, 31 c). E desta maneira e destas cousas de tal natureza (os elementos) e em número de quatro foi figurado o corpo do mundo, que está harmonizado em si mesmo por meio da proporção {Timeu, 32 c).

Quanto à a lm a . . . (Deus) form ou-a. . . da maneira se­ guinte : Da essência indivisível que está sempre do mesmo modo invariável, e da que é gerada para os corpos e divisí­ vel, destas duas, misturando-as entre si, fêz um a terceira espécie de essência intermediária. . . E tomou estas três

cousas, combinou-as tôd as. . . e fazendo novamente das três um só inteiro, dividiu depois isto em tôdas as partes que convinha (Timeu,, 34 c, 35 a /c ).

[Continua no Tim eu a enunciação destas divisões e proporções, pelas quais, como disse Zeller, a alm a cósmica com preende originàriam ente em si tôdas as relações de núm ero e de medida, é ela inteiram ente núm ero e harmonia e dá origem a tôdas as determ inações de núm ero e a tôda harm onia no universo. Com efeito, a harm onia musical e o sistem a dos corpos celestes são considerados por Platão (seguindo as pegadas dos pi­ tagóricos), como a principalíssim a m anifestação dos núm eros invisíveis e da sua consonância. E assim os arquétipos de tôda a realidade corpórea e espiritual são todos núm ero e proporção. Por isso, está inteiram ente na órbita do pensam ento de Platão, o Epígnomis — provavelmente obra de Filipe de Opunte — quando proclam a que a contem plação do céu nos re ­ vela o núm ero, e que só a posse do núm ero confere à natureza hum ana a possibilidade da Ciência e da virtude, e, conseqüentemente, essa possibi­ lidade de salvação da alm a e de bem -aventurança eterna, que o Fédon (69 d, 114 c) e o Fedro (247 d, 249 a) atribuem , principalm ente, às almas puri­ ficadas pela Filosofia].

O número, dom divino, fonte da Ciência e da virtude, e caminho de salvação e de beatificação da alma. É necessário que se m ostre alguma Ciência, possuindo a qual se transform e em sábio quem em realidade seja sá b io ... tínicam ente pode fazer isto . . . a Ciência que dá o núm ero a tôda espécie m ortal. E creio que Deus, e não algum destino no-lo deu para salvar-nos... E que D eus?... Talvez o C é u ... seja que nos agrade chamá-lo Cosmos, ou Olimpo, ou C é u ... Se tirássem os o núm ero à natureza humana, não nos tom aríam os jam ais razoáveis... O anim al que não conheça o 2 e o 3 e o ím par e o p ar e o núm ero em absoluto, não poderia nunca dar razão das cousas de que possuím os sòm ente sensações e lem branças... Privado da verdadeira razão, nunca seria sábio. Mas aquêle a quem falta sabedoria, p arte principal de tôda virtude, nunca se to rn ará completamente bom nem será feliz. Assim é necessário que tôda virtude suponha o n ú ­ m e ro ... Mas tôdas as artes perecerão absolutam ente, quando se tira a A ritm ética... Em tôda música há necessidade de movimentos e sons nu­ merados. E o que m ais im porta é causa de todos os b e n s ... Mas o movi­ mento irracional e desordenado... e tudo o que participa de algum mal está privado de qualquer núm ero: e em tudo isso deve pensar quem queira m orrer feliz (Epígnomis, 976 c — 978 a).

B) Testemunhos de Aristóteles sôbre a doutrina ensi­

nada no interior da escola (ágrafa dógm ata).

[“As doutrinas não escritas” (ágrafa dógmata) de que nos falam Aris­ tóteles, Física, IV, 2, 209 b, e outros testem unhos, constituíram , talvez, na últim a fase da atividade filosófica de Platão, ou esotérica, segundo o cos­ tume da escola pitagórica, para a qual P latão se Inclina em medida cres­ cente. O não tê-las feito objeto de exposição escrita, em diálogos destinados

tam bém ao público estranho à escola, talvez pudesse relacionar-se com a incompreensão de que dava provas o público não iniciado nas lições orais sôbre esta doutrina. De fato, conta-nos Aristoxeno (Harm. elem., II, 30) que Aristóteles relatava a desilusão dos que iam ouvir as lições de Platão sôbre o Bem, acreditando que falasse sôbre os bens segundo o conceito comum, e não obstante, ouviam-no falar de núm eros e de geometria e con­ cluir que o Bem é o Uno.

Pelo modo como Aristóteles fala da doutrina dos núm eros e pelo fato de a terem os sucessores de Platão continuado (Euspesipo e X enócrates), parece evidente que ela constitui a fase final da evolução do pensamento platônico, e não, como alguém (Stefanini) sustenta, um a fase interm édia entre o Filebo e o Timeu, já superada quando Platão escrevia o Timeu e as Leis. Em compensação, é verdade que a doutrina dos núm eros, resul­ tante dos testem unhos aristotélicos, representa um desenvolvimento e não um a mudança da esboçada nos diálogos platônicos].

a) A teoria dos números não pertence à primeira fase

ão idealismo platônico. Agora desejamos examinar a dou­

trina das idéias por si mesma sem tocar na sua relação com a natureza dos números, mas tal como a conceberam a prin­ cípio os que (Platão e os outros idealistas) afirmaram pri­ meiramente a existência das idéias (Aristóteles, Metaf., 1078 b).

b) Das idéias aos números ideais: tríplice hierarquia

dos sêres (as idéias ou números ideais, os entes m atem áticos e as cousas sensíveis). Além das cousas sensíveis e das idéias,

Platão disse que existem, como intermédios, os entes m ate­ máticos, que diferem das cousas sensíveis por serem eter­ nos e imutáveis, e das idéias porque dêsses (entes matemá­ ticos) há muitos semelhantes, enquanto que, no que se refere às idéias, cada uma é única e só ela mesma (Metaf., 987, b ) .

[A repetição dos núm eros matem áticos é condição e fundamento da possibilidade de somá-los e submetê-los a operações; em troca, a unidade e a falta de repetição da idéia produz a impossibilidade de subm eter à adição os núm eros ideais].

c) Os elementos das idéias-números = elementos de

todos os sêres: o Uno e a díade indeterminada. Mas como

as idéias são causa dos outros sêres, Platão julgou que os seus elementos fôssem elementos de todos os sêres. Então, a respeito da matéria, seriam princípios o grande e o pe­

queno, e, quanto à essência, o Uno, uma vez que, constando dos mesmos (grande e pequeno) e participando do Uno, as idéias seriam os números. Ora, ao dizer que o Uno é essên­ cia e não outra cousa de que o Uno é atributo, Platão falava de modo semelhante aos pitagóricos; e também ao dizer que os números sejam causa, para as outras cousas, de sua essência. Quanto, ao contrário, a colocar, em lugar do infinito considerado como único, uma díade, e a colocar o infinito do grande e do pequeno, isso é próprio dêle; e além disso, situa os números além das cousas sensíveis, aquêles, em compensação, dizem que os números são as cou­ sas mesmas, e não estabelecem os entes matemáticos inter­ médios entre estas (as cousas sensíveis e a idéias).

Ora, o fato de estabelecer o Uno e os números além das cousas, e não à maneira dos pitagóricos, e a introdução das idéias provinham das suas indagações sôbre a lógica (pois os seus predecessores não tinham experiência da dialética); mas fazer da outra natureza uma díade, provinha do fato de que desta, como de matéria plasmável, se poderiam gerar fácilmente os números, exceto os primeiros (Metaf., 987 b).

[As idéias de que são elementos o Uno e a Díade (ou dualidade) do grande e do pequeno, são, como disse Aristóteles, idéias-números ou nú­ meros ideais.

A determ inação do infinito como dualidade do grande e do pequeno ou do mais e do menos é motivada pelas razões expressas por Platão nas passagens do Filebo acima citadas. E sta díade parecia assim a m atéria plas­ mável (eJcmagéion) de que podia gerar a série infinita dos números, menos os primeiros. Tem-se discutido, discute-se e m uito se discutirá entre os intérpretes, sôbre quais sejam êsses primeiros. Alexandre de Afrodísia ex­ plicava: os núm eros ím pares e os núm eros prim eiros, em sentido aritm é­ tico (que têm como m edida comum sòmente a unidade). A êle voltam alguns intérpretes m odernos, enquanto outros sustentam que essa frase exprime um pensamento de Aristóteles e não de Platão, e outros, final­ mente, pensam que os núm eros primeiros são os núm eros ideais da década, pois o próprio Aristóteles, em vários lugares da Metafísica, dá a entender que, p ara Platão, eram indeduzíveis (cfr. Stefanini, Platão, II, 395 e seg.). Creio que êstes últim os acertam no alvo, em bora lhes tenha passado des­ percebida a confirm ação m ais decisiva dada po r P latão mesmo, no Féãon, 101 ab, onde repele a adição e a subtração como causa da distinção do maior e do menor nas grandezas e nos núm eros matem áticos, e dá como causa a sua participação nas idéias do m ais e do menos, isto é, da duali­ dade infinita.

Resta entretanto um a dificuldade: Aristóteles declara aqui acima que os números-ideais têm po r m atéria aquela díade; como poderia então negar

que se geram dela como de um a m atéria plasmável? Creio que aqui Aris­ tóteles pretende negar para os núm eros ideais (lim itados à década) a ge- nerabilidade que, ao invés, p ara os núm eros m atem áticos provém da infinidade da m atéria plasmável constituída pela dualidade infinita do mais e do menos],

d) A limitação dos números ideais à década. Platão

preestabeleceu dois infinitos, pela razão de parecer existir sempre um mais além e um caminho para o infinito, tanto sôbre a via das adições como na das divisões. Mas, embora tenha estabelecido dois caminhos, não se serve dos mesmos, pois não há nos números um infinito por divisão, sendo o limite mínimo a unidade; nem por adição, pois limita o nú­ mero à década (Física, III, 6, 20 b).

e) Os números ideais, qualitativam ente diferentes en­

tre si, não adicionáveis, cada um único e não suscetível de

repetição. (Segundo Platão), dêste (número) há um pri­

meiro e um sucessivo, cada um dêles diferente do outro por espécie; e esta (diversidade) pertence imediatamente às uni­ dades, e qualquer unidade não é adicionável com qualquer

(outra) u n id a d e ... O matemático conta depois do 1 e 2, juntando ao 1 precedente outro 1; e o 3 juntando a êstes dois outro 1, e assim sucessivamente; ao contrário, Platão, depois do 1, enumera outros 2, independentes do primeiro, e depois a tríade, independente do díade, e igualmente tam­ bém o resto do número (ideal) (M etaf., 1 080 a ) . O número é algo que é um e não quase um montão; mas diverso (dos outros números) por ser composto de unidades diversas (das su a s), como dizem (Metaf., 1 084 b ) . Essência de cada um (dos números) é aquela tomada uma só vez; tal como de 6 não é o ser duas vêzes (o 3) ou três vêzes (o 2) senão aquêle que é tomado um a só vez; porque 6 é uma só vez 6

(Metaf., 1 020 a).

[Com base nestas explícitas declarações, confirmadas pelo mesmo Pla­ tão em seu Féãon, já citado, torna-se evidente que a reconstrução tentada por Robin, do processo de form ação dos núm eros ideais, com intervenção da potência m ultiplicadora da díade, não corresponde à concepção de Platão. Justam ente Ross a aplica ao invés a Sócrates, e pensa que Platão considerava a série dos núm eros ideais como sucessivos pontos de detenção que o Uno, princípio do limite, fixa no infinito fluxo da infinita díade do grande e do pequeno].

f) Diferença da teoria de Platão das de Espeusipo e

Xenócrates. Além disso, a discordância entre os principais

(teóricos) em tôrno dos números, é um sinal de que as cou­ sas mesmas, sendo falsas, produzem confusões nos mesmos. De fato, alguns, que só estabelecem os entes matemáticos além dos sensíveis, renunciaram ao número ideal e afir­ maram o matemático, percebendo a dificuldade e o artifício referente às idéias. Outros, em compensação, querendo esta­ belecer conjuntamente as idéias e os números, não distin­ guindo, porém, de que maneira, quando se estabeleçam êstes princípios, poderia existir o número matemático além do ideal, tornaram idênticos o número ideal e o matemático em seu raciocínio, pois, em realidade, o matemático se tor­ na eliminado, porque êles exprimem hipóteses particulares suas e não matemáticas. Entretanto, aquêle que afirmou primeiramente que as idéias existem, e que são números tanto as idéias como os entes matemáticos, com tôda razão conservou-os separados (Aristóteles, Metaf., 1 086 a ) .

[Assim, Aristóteles afirm a que Platão (prim eiro sustentador das idéias) manteve separados os núm eros ideais dos m atem áticos; m as entre os seus discípulos, Espeusipo e os seus seguidores renunciaram aos núm eros ideais e ativeram-se (seguindo as pegadas dos pitagóricos) sòmente aos números m atem áticos, adicionáveis e deriváveis uns dos outros por meio de opera­ ções; em troca, Xenócrates e os seus seguidores, identificando os núm e­ ros matem áticos com os ideais, renunciaram , pràticam ente, à existência dos prim eiros].