Você precisará de 36 moedas para fazer esse truque. Dê a seu amigo, que não desconfia de nada, 25 das moedas e peça-lhe que as arrume numa grade de 5 × 5, com caras e coroas distribuídas ao acaso. O arranjo poderá ser, por exemplo, o seguinte, com K representando “cara” e C representando “coroa”:
TABELA 4.06
Então você diz: “Em um minuto vou lhe pedir que vire uma dessas moedas, uma cara ou uma coroa. Aí vou ler sua mente e dizer qual das moedas você virou. Como eu poderia ser capaz de lembrar a ordem das 25 moedas, então vamos dificultar mais as coisas para mim e aumentar a grade.”
Em seguida, você acrescenta mais moedas, aparentemente ao acaso, criando uma linha e uma coluna adicionais, formando uma grade de 6 × 6 = 36, só que você não está absolutamente adicionando as moedas extras ao acaso. O que você faz é contar quantas coroas há em cada linha e em cada coluna, a começar da primeira coluna. Se houver um número ímpar de coroas nessa primeira coluna, coloque a moeda extra na base dela mostrando coroa. Se houver um número par de coroas (0 conta como número par, para esse propósito), coloque a moeda extra na base da coluna mostrando cara.
Faça a mesma coisa para cada coluna, e então adicione uma moeda no fim de cada linha usando o mesmo critério. Agora haverá um espaço no canto inferior direito para completar o quadrado. Coloque cara ou coroa conforme a coluna acima tenha uma quantidade par ou ímpar de coroas. É interessante notar que essa posição também coincide com a paridade (isto é, se é par ou ímpar) do número de coroas na linha inferior. Você consegue provar que isso é sempre verdade? A jogada consiste em perceber que esse número lhe diz se há uma quantidade par ou ímpar de coroas na grade 5 × 5.
Em todo caso, a grade agora tem o seguinte aspecto: tabela 4.07
TABELA 4.07
moeda a fim de que ela mude de cara para coroa, e vice-versa. Ao fazer isso, vire-se de novo para ele. Concentre-se na grade e anuncie que você vai ler a mente dele e identificar a moeda virada.
Claro que você não está lendo a mente do seu amigo. Você volta ao bloco de números original 5 × 5 e conta as caras e as coroas em cada coluna e em cada linha. Registra quando houver número ímpar de coroas e confere com as caras e coroas adicionadas, pois elas indicam a paridade de coroas em cada coluna. Agora que seu amigo virou uma das moedas na grade 5 × 5, haverá uma linha e uma coluna em que as moedas acrescentadas darão uma leitura falsa. Procure a interseção dessa linha com essa coluna, e aí estará a moeda virada.
Você agora deverá ser capaz de identificar a moeda da grade que foi virada:
TABELA 4.08
A primeira coluna na grade 5 × 5 tem um número par de coroas, mas a moeda adicionada na base dessa coluna era uma coroa, indicando que originalmente havia um número ímpar de coroas. Então a moeda virada está localizada na primeira coluna.
Agora vamos às linhas. É na segunda linha que as coisas não batem: há um número ímpar de coroas, mas o seu “dígito de verificação” indica que deveria haver um número par. Agora você pode ler a mente de seu amigo: “Você virou a moeda na primeira coluna, segunda linha.” Uma salva de palmas da plateia impressionada.
O que acontece se seu amigo virar uma das moedas que você colocou? Não há problema. Agora é a casa direita inferior que não vai indicar a paridade ou da última linha ou da última coluna. Se ele não se encaixar com a última linha, você saberá que uma das posições na última linha foi mudada, e aí verifica cada uma das colunas para ver qual delas não está batendo. Se você descobrir que é a sexta coluna, então foi a moeda no canto inferior direito a virada.
Eis a grade novamente, mas com uma das suas moedas virada. Você consegue identificar qual?
TABELA 4.09
É a moeda no canto superior direito. A cara no canto inferior direito nos diz que deveria haver um número par de coroas acima dela na última coluna — mas há um número ímpar. Agora verifique as linhas. A primeira não bate porque a cara no fim dela diz que deveria haver um número par de coroas à esquerda. Mas há um número ímpar. Isso significa que a moeda do canto superior direito foi virada.
Essa é a base do que se chama código de correção de erros, usado por computadores para corrigir erros em mensagens que possam ter penetrado seu computador durante a transmissão. Mude as caras e coroas para 0 e 1, e de repente a grade torna-se uma mensagem digital. Por exemplo, cada coluna na grade 5 × 5 colocada no início da jogada poderia representar uma letra no código Baudot, e a grade no truque acima seria então uma mensagem de cinco caracteres. As colunas e linhas adicionais são acrescentadas pelo computador para manter o controle dos erros.
Então, se quiséssemos mandar uma mensagem em código na capa do terceiro álbum do Coldplay, poderíamos usar truque similar aplicado a uma grade 5 × 4 para detectar quando algum erro tivesse ocorrido. Eis a capa do disco como deveria ser, com os blocos coloridos transformados em 1 e os vazios em 0:
TABELA 4.10
Agora acrescentemos uma coluna e uma linha extras de 0 e 1 para indicar se cada coluna ou linha têm um número par ou ímpar de algarismos 1:
TABELA 4.11
Agora, imaginemos que tenha havido um erro durante a transmissão, e um dos números foi trocado, e o encarregado da produção gráfica tenha recebido a seguinte mensagem:
TABELA 4.12
Usando o dígito de verificação na última coluna e na última linha, o produtor gráfico pode detectar o erro. A segunda linha e a terceira coluna não batem.
Códigos de correção de erros como esse são usados em tudo, desde CDs até comunicações por satélite. Você conhece a experiência de falar com alguém por telefone e não entender tudo que é dito. Quando computadores conversam entre si, eles têm o mesmo problema, porém, com matemática inteligente, conseguimos conceber métodos de codificar os dados para nos livrar da interferência. Foi isso que a Nasa fez quando a espaçonave Voyager 2 enviou suas primeiras imagens de Saturno. Usando um sistema de correção de erros, foi possível transformar imagens borradas em figuras claras e cristalinas.