Você está num cassino, na roleta, e tem vinte fichas. Você resolveu tentar dobrar seu dinheiro antes de ir embora. Colocando uma ficha no vermelho ou no preto, você o duplicará se fizer a escolha correta. Então, qual a melhor estratégia? Pôr todo o dinheiro numa casa vermelha, digamos, ou pôr uma ficha de cada vez, até perder tudo ou ter quarenta fichas na mão?
Para analisar o problema, é preciso perceber que toda vez que você faz uma aposta, está pagando ao cassino uma pequena quantia para jogar, se tirar a média entre todas as suas perdas e os ganhos. Se você puser seu dinheiro no preto 17 e a bolinha parar nesse número, então o cassino lhe devolve sua ficha com outras 35. Se houvesse 36 números no jogo de roleta, seria um jogo justo, pois em média o preto 17 sairia uma vez a cada 36 jogadas. Então, se você tivesse 36 fichas e continuasse apostando no preto 17, então, em 36 giradas da roleta,
em média, você perderia em 35 delas e ganharia em uma, deixando-o com as mesmas 36 fichas com que começou o jogo. Mas na roleta europeia há, na verdade, 37 números para se apostar (de 1 a 36 e mais o 0, que não é nem preto nem vermelho), mas a banca paga como se houvesse apenas 36 números.
Por haver 37 números, toda vez que você aposta £ 1, a casa está ganhando de libra, mais ou menos 2,7 pence (a libra tem cem pence). Vez ou outra o cassino tem de pagar muito para um indivíduo, mas, a longo prazo, sabe-se que, graças às leis da probabilidade, ele ganha dinheiro. De fato, as chances da casa nos Estados Unidos são ainda piores para o jogador, porque lá se usam roletas com 38 números: de 1 a 36, mais 0 e 00. Vimos que apostar num único número lhe custou, a longo prazo, 2,7 pence por aposta. Mas você não precisa apostar num número só: pode apostar, por exemplo, no vermelho ou no preto, no par ou no ímpar, ou em números na faixa de 1 a 12. As chances são calculadas do mesmo modo, de tal maneira que, qualquer que seja sua aposta, ela lhe custa basicamente 2,7 pence.
Então, o que você deveria fazer para ter a melhor chance de dobrar seu dinheiro? Primeiro, já que você paga toda vez que joga, a melhor estratégia é jogar o menor número de vezes possível. Há uma chance de , um pouquinho inferior a 50%, de que saia vermelho e você vá embora com o dobro do dinheiro; assim, embora a visita ao cassino seja rápida, a melhor estratégia para dobrar seu dinheiro é pôr tudo no vermelho numa só jogada. A probabilidade de dobrar seu dinheiro pondo uma ficha por vez é de
que é uma chance de 25,3%. Você praticamente divide ao meio sua chance de atingir o objetivo se apostar uma ficha de cada vez.
Mas qual o melhor lugar da roleta para se apostar? Se você puser seu dinheiro no vermelho e der 0, alguns cassinos aplicam uma regra chamada en prison, e lhe pagam metade da aposta. Isso, na verdade, significa que as chances da casa são um pouco menores nessa aposta — é mais barato apostar aqui que em qualquer outro lugar da roleta. A longo prazo, isso lhe custará
(probabilidade de perder) × aposta – (probabilidade de ganhar) × prêmio
em oposição aos 2,7 pence que custa jogar em qualquer outra posição da mesa. Assim, se o cassino joga en prison, a longo prazo, custa metade do preço apostar no vermelho/preto que fazer outros tipos de aposta.
Em vez de pegar a metade da aposta de volta, há outra opção que o cassino oferece: você pode optar por deixar sua aposta en prison. A banca põe uma ficha en prison na aposta, e se na vez seguinte der vermelho, você ganha uma moratória e o cassino lhe devolve a ficha (mas sem qualquer ganho); se não der vermelho, você perde a aposta. Por haver uma chance de de você receber todo seu dinheiro de volta (um pouquinho abaixo de 50%), você estará em melhor situação se pegar metade do dinheiro quando tiver oportunidade do que apostar en
prison e ficar esperando que dê vermelho.
Então, as chances parecem estar agrupadas contra você. Mas há algum jeito matemático de vencer o cassino? Eis aqui uma ideia, chamada “martingale”. Comece colocando uma ficha no vermelho. Se der vermelho, você pega sua ficha de volta e mais outra ficha. Se não der vermelho, da próxima vez aposte duas fichas no vermelho. Se der vermelho, ganha as fichas de volta mais outras duas. Você perdeu uma ficha na primeira aposta, então agora está ganhando uma. Se deixar de dar vermelho pela segunda vez, aposte quatro fichas na próxima. Se der vermelho, você ganha quatro a mais que a aposta. Mas já perdeu uma ficha na primeira aposta e mais duas na segunda, então, isso deixa você com… uma ficha a mais.
A forma de jogar nesse sistema é ficar dobrando a aposta até acabar dando vermelho. Seus ganhos totais sempre serão de uma ficha, porque se der vermelho na enésima rodada, você ganha 2n fichas (a quantidade apostada). Mas nas n – 1 rodadas anteriores você perdeu P = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n – 1 fichas. Eis uma maneira inteligente de calcular quanto é essa perda P.
P, com certeza, é o mesmo que 2P – P. Então quanto é 2P?
2P = 2 × (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n – 1) = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 2n – 1 + 2n
Agora vamos subtrair P = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n – 1.
Isso dá:
P = 2P – P = (2 + 4 + 8 + 16 + … + 2n – 1 + 2n) –
(1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n – 1) = 2n – 1
Todos os números do primeiro parêntese, exceto 2n, também aparecem no segundo
parêntese, por isso são cancelados nesse cálculo! (Já fizemos o cálculo antes, quando empilhamos grãos de arroz no tabuleiro de xadrez, em busca dos números primos, no Capítulo 1.) Então você ganha 2n, mas perdeu 2n – 1. Seu ganho líquido é de uma ficha.
Não é muita coisa, mas o sistema parece garantir algum ganho — afinal, em algum momento, com certeza, vai dar vermelho, não é? Então, por que os jogadores não apostam nos cassinos com essa estratégia? Um dos problemas é que você precisaria de recursos infinitos para garantir um ganho, uma vez que há uma possibilidade teórica de dar preto a noite toda. E mesmo que tivesse uma pilha enorme de ficha, a duplicação repetida da aposta pode esgotar depressa seu estoque (como acontece com os grãos de arroz). Além de tudo, a maioria dos cassinos tem um limite máximo de apostas precisamente para impedir alguns jogadores de explorar a estratégia. Por exemplo, com uma aposta máxima de mil fichas, sua estratégia vai falhar após nove rodadas, porque na décima você precisaria de 210 = 1.024, quantidade já maior que o máximo permitido.
Mesmo com uma aposta máxima, a falácia do jogador é acreditar que, se saíram oito pretos seguidos, a probabilidade de dar vermelho na rodada seguinte deve ser alta. Claro que a chance de ver oito pretos em seguida é incrivelmente pequena, na verdade 1 em 256. Mas isso não aumenta as chances de dar vermelho na próxima: continua a ser meio a meio. Da mesma forma que a moeda lançada, a roleta não tem memória.
Se você quiser jogar na roleta, tenha em mente o que diz a matemática da probabilidade: a longo prazo, a casa sempre ganha — embora, como veremos no Capítulo 5, talvez haja um modo de usar alguma matemática para ajudar você a ganhar seus milhões. Se não gosta de pôquer nem roleta, então a mesa de dados talvez lhe sirva. Como veremos agora, o jogo de dados tem uma história muito longa.