Conseguir desenvolver o pensamento lateral é conveniente quando se trata de matemática. Olhando as coisas de um ângulo diferente, a resposta para enigmas difíceis de súbito pode se tornar óbvia. A habilidade reside em achar o jeito certo de encarar o problema. Para ilustrar isso, eis um jogo que à primeira vista é difícil de acompanhar, mas se torna muito mais fácil quando o abordamos a partir de outra direção. Para jogar, você pode visitar o site Num8er My5teries para baixar e recortar os elementos de que necessita.
Cada competidor tem uma embalagem de bolo onde cabem quinze fatias. Ganha o jogo o primeiro a preencher a embalagem com exatamente três pedaços de bolo escolhidos entre nove pedaços de diferentes tamanhos, sendo que o menor consiste precisamente em uma fatia, e o maior é composto de nove fatias. Os competidores se revezam para escolher um dos pedaços de cada vez.
FIGURA 3.11: Escolha três pedaços de bolo para encher a embalagem antes de seus adversários.
O objetivo é obter três números de 1 a 9 que somem 15, ao mesmo tempo controlando o que o adversário está fazendo e boicotando suas tentativas. Então, se o seu adversário escolheu pedaços com três e oito fatias, você precisa impedi-lo de completar quinze pegando
o pedaço de quatro fatias. Se o pedaço que você quer já foi pego, terá de achar um jeito diferente de chegar a quinze usando os pedaços que já pegou e os que restaram. Mas você precisa sempre usar exatamente três pedaços para encher a embalagem — enchê-la com dois pedaços de nove e seis fatias não é uma jogada vencedora, tampouco encher com quatro pedaços de uma, duas, quatro e oito fatias.
Depois que começa o jogo, logo fica bastante difícil controlar todas as maneiras diferentes que você e seu adversário têm de encher a embalagem. O jogo fica muito mais fácil quando você percebe que aquilo que está jogando é, na verdade, outro jogo clássico disfarçado: o jogo da velha. Em vez da grade habitual de 3 × 3, onde se colocam cruzes e círculos, tentando alocar três na mesma fileira antes que o oponente, este jogo se dá num quadrado mágico:
TABELA 3.03
O quadrado mágico mais básico é uma forma de arranjar os números de 1 a 9 numa grade 3 × 3, de modo que os números nas colunas, linhas e diagonais somem sempre 15. Esse arranjo fornece todos os jeitos possíveis de se obter 15 somando três números distintos escolhidos de 1 a 9. Se jogarmos o jogo da velha no quadrado mágico, qualquer um que consiga completar uma coluna terá três números que somam 15 antes de seu oponente.
Segundo uma lenda, o primeiro quadrado mágico surgiu em 2000 a.C., inscrito sobre um casco de tartaruga que se arrastava saindo do rio Lo, na China. O rio tinha provocado uma séria enchente, e o imperador Yu ordenou que se fizessem alguns sacrifícios para apaziguar o deus do rio. Em resposta, o deus do rio enviou a tartaruga, cujo padrão de números destinava- se a ajudar o imperador a controlar o rio. Uma vez descoberto o arranjo dos números, os matemáticos chineses começaram a construir quadrados maiores que funcionassem da mesma maneira. Esses quadrados eram considerados detentores de grandes propriedades mágicas e tornaram-se amplamente usados em rituais de adivinhação. A maior conquista dos matemáticos chineses foi um quadrado mágico de 9 × 9.
Há evidências de que os quadrados foram levados para a Índia por mercadores chineses que lidavam não só com especiarias, mas também com ideias matemáticas. A forma como os números se entrelaçavam, entrando e saindo dos quadrados, tinha uma forte ressonância nas crenças hindus de renascimento. Na Índia, esses quadrados eram usados para qualquer coisa, desde elaboração de receitas de perfumes até como auxiliar no nascimento das crianças. Os quadrados mágicos também eram populares na cultura islâmica medieval. Sua abordagem extremamente sistemática da matemática levou a formas inteligentes de gerar quadrados mágicos, culminando na descoberta, no século XIII, de um impressionante quadrado mágico de 15 × 15.
FIGURA 3.12: O quadrado mágico de Albrecht Dürer.
Uma das primeiras exibições de quadrados mágicos na Europa é o quadrado que aparece na gravura Melancholia, de Albrecht Dürer. Ali, os números de 1 a 16 estão dispostos de modo que linhas, colunas e diagonais somem, todas, 34. Além disso, cada um dos quatro quadrantes — os quatro quadrados 2 × 2 nos quais o quadrado grande pode ser dividido — e o quadrado 2 × 2 no centro também somam 34. Dürer chegou a dispor os dois números centrais da linha de baixo para registrar o ano da gravura: 1514.
Quadrados mágicos de diferentes tamanhos eram tradicionalmente associados a planetas do sistema solar. O quadrado clássico 3 × 3 era associado a Saturno, o quadrado 4 × 4, em
Melancholia, a Júpiter, enquanto o maior, 9 × 9, era atribuído à Lua. Uma sugestão para o uso
que Dürer fez do quadrado é que este refletia a crença mística de que o espírito alegre de Júpiter podia se contrapor ao senso de melancolia presente na gravura.
Outro quadrado mágico famoso pode ser encontrado na entrada da extravagante Sagrada Família, a ainda inacabada catedral de Barcelona projetada por Antoni Gaudí. O número mágico para este quadrado 4 × 4 é 33, a idade de Cristo ao ser crucificado. O quadrado não é tão perfeito quanto o de Dürer porque os números 14 e 10 aparecem duas vezes, enquanto 12 e 16 estão ausentes.
Quadrados mágicos são parte das curiosidades matemáticas, mas há um problema neles que os matemáticos têm sido incapazes de desvendar. Existe, essencialmente, apenas um quadrado mágico 3 × 3. (O advérbio “essencialmente” significa que aquilo que se obtém girando ou espelhando o quadrado mágico não conta como diferente.) Em 1693, o francês Bernard Frénicle de Bessey listou todos os 880 quadrados mágicos possíveis 4 × 4, e em 1973 Richard Schroeppel usou um programa de computador para calcular que há 275.305.224 quadrados mágicos 5 × 5. Além daí, temos apenas estimativas para o número de possíveis quadrados mágicos 6 × 6 e mais. Os matemáticos ainda estão à procura de uma fórmula que dê os números exatos.