Uma das novidades do Dungeons and Dragons, o RPG (de Role Playing Game, em inglês) dos anos 1970, era seu intrigante sortimento de dados. Mas teriam os inventores do jogo descoberto todos os dados possíveis? Quando olhamos para as formas que resultam em bons dados, deparamos com uma pergunta que fizemos no Capítulo 2. Se todas as faces de um dado têm o mesmo formato simétrico, e se todas as faces estão arrumadas de tal maneira que todos os vértices e arestas pareçam iguais, então há cinco dados desse tipo: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro — os sólidos platônicos (ver p.71). Você achará todos esses dados na caixa de Dungeons and Dragons (e num pdf que poderá baixar no site Num8er My5teries), mas uma porção deles tem herança muito mais antiga.
FIGURA 3.05: Formas simétricas que resultam em bons dados.
Por exemplo, um dado de vinte faces, feito de vidro, datando do tempo dos romanos antigos, foi vendido pela Christie’s em 2003. Suas faces são entalhadas de estranhos símbolos, sugerindo que foi usado em rituais de vidência, e não em jogos. O icosaedro está no coração dos mais badalados recursos de vidência hoje: a Bola do 8 mágico. Dentro da bola, flutuando num líquido, há um icosaedro com resposta para os problemas escritos nas faces. Você faz uma pergunta, sacode a bola, e o icosaedro flutua para o topo, revelando a resposta em uma das faces. As respostas variam de “Sem dúvida alguma” a “Não conte com isso”.
Se você quer simplesmente um dado honesto, não precisa ser rigoroso quanto ao arranjo das faces. Por exemplo, Dungeons and Dragons usava um dado feito da fusão de duas pirâmides de base pentagonal grudadas pelas bases. Esse dado tem a probabilidade de 1 em 10 de cair com qualquer uma das faces triangulares virada para cima. Não é um sólido platônico porque o vértice na ponta de cada pirâmide é diferente, possível de ser distinguido de todos os outros vértices: ali se juntam cinco triângulos, enquanto cada um dos outros vértices onde as duas bases se encontram é uma conjunção de quatro triângulos. Mas ainda assim é um dado honesto: ele tem a mesma probabilidade de cair sobre cada uma das dez faces.
Os matemáticos vêm investigando que outros tipos de formas resultam em dados honestos. Recentemente provou-se que, se os dados ainda tiverem alguma simetria, há outros vinte a se adicionar aos dados platônicos, juntamente com cinco famílias infinitas que produzem dados honestos.
os sólidos de Arquimedes, do Capítulo 2, que têm cinco faces simétricas, mas não necessariamente todas com o mesmo formato. Esses formatos podem produzir boas bolas de futebol, mas não são tão certas assim para os dados. A bola de futebol clássica tem 32 faces compostas de doze pentágonos e vinte hexágonos. Poderíamos fazer um dado honesto escrevendo números de 1 a 32 sobre essas faces? O problema é que cada pentágono tem, aproximadamente, 1,98% de chance de ser escolhido, enquanto cada hexágono tem 3,81%. Então, não seria um dado honesto. Foi só na última década que os matemáticos produziram uma fórmula precisa para a probabilidade de que os dados “futebolísticos” caíssem com um pentágono para cima. Uma parcela impressionante de geometria produziu a seguinte e assustadora resposta:
Os sólidos de Arquimedes em si não são dados honestos, mas podem ser usados para construir formas diferentes que dão toda uma nova série de dados a serem usados em jogos. A chave é perceber que, embora as faces possam variar em torno do sólido de Arquimedes, os vértices são todos iguais, e o truque é empregar uma ideia chamada dualidade, que transforma as pontas em faces, e vice-versa. Para ver qual teria de ser o formato da face, é preciso pensar numa folha de cartolina colocada em cada ponta e então ver como todas essas cartolinas se secionam e se cortam mutuamente. Cada cartolina precisa estar num ângulo tal que fique perpendicular à linha que corre do centro da forma até o vértice. Por exemplo, se você substituir os vértices de um dodecaedro por faces, obtém um icosaedro (Figura 3.06).
FIGURA 3.06
Usando esse truque com sólidos de Arquimedes, o procedimento resulta em treze novos dados. A bola de futebol clássica tem sessenta vértices, e o dado que emerge dela quando substituímos cada vértice por uma nova face é composto de sessenta triângulos, que não são equiláteros, mas isósceles (isto é, apenas dois dos três lados são iguais). Embora esse dual da bola de futebol clássica não seja um sólido platônico, ainda assim é uma forma em que cada
uma das faces tem chance de 1 em 60 de cair para cima, de modo que é um dado honesto para ser jogado. Seu nome técnico é dodecaedro pentakis (Figura 3.07).
Cada sólido de Arquimedes pode ser usado para criar um novo dado como esse. Talvez o mais impressionante seja o icosaedro hexakis. Surpreendentemente, mesmo com 120 faces irregulares com formato de triângulos retângulos, essa forma dá outro dado honesto.
FIGURA 3.07
As infinitas famílias de dados provêm da generalização da ideia de juntar duas pirâmides pela base, e a base pode ter qualquer número de arestas. Embora os matemáticos tenham selecionado a gama de dados honestos que têm simetria, ainda há um mistério acerca das formas mais irregulares que compõem dados honestos. Por exemplo, se pegarmos o octaedro e cortarmos um pedacinho de um vértice e do vértice oposto, surgem duas novas faces. Se eu lançar um dado com esse formato, é improvável que ele caia sobre uma dessas novas faces, mas se eu cortar pedaços maiores, essas duas faces novas terão mais chance de cair para cima que as oito restantes. Deve haver algum ponto intermediário no qual eu corte os dois vértices de tal maneira que as duas faces novas e as oito faces originais sejam igualmente prováveis, criando um dado honesto de dez faces.
Essa forma não tem nada da bela simetria dos novos dados que fizemos a partir das bolas listadas por Arquimedes, mas também daria um dado honesto. Como prova de que a matemática não tem todas as respostas, ainda procuramos um modo de classificar todas as formas possíveis de se inventar dessa maneira e que produzem dados honestos.