No reinado da rainha Elisabeth I, o maior número primo conhecido era o número de grãos de arroz até a casa 19, inclusive: 524.287. Na época em que Lord Nelson travava a Batalha de Trafalgar, o recorde do maior primo já subira até a 31ª casa do tabuleiro: 2.147.483.647. Esse número de dez dígitos se provou primo em 1772, pelo matemático suíço Leonhard Euler, e foi o detentor do recorde até 1867.
Em 4 de setembro de 2006, o recorde tinha subido até o número de grãos de arroz que haveria na 32.582.657ª casa, se tivéssemos um tabuleiro grande o suficiente. Esse novo primo tem mais de 9,8 milhões de dígitos, e levaria um mês e meio para lê-lo em voz alta. Foi descoberto não por algum gigantesco supercomputador, mas por um matemático amador usando um software baixado da internet.
A ideia desse software é utilizar o tempo ocioso do computador para fazer cálculos. O programa por ele usado implanta uma estratégia inteligente desenvolvida para testar se os números de Mersenne são primos. Foi necessário um computador trabalhando durante vários meses para verificar os números de Mersenne com 9,8 milhões de dígitos, mas ele ainda é muito mais rápido que os métodos para testar se um número ao acaso, desse tamanho, é primo. Em 2009, mais de 10 mil pessoas tinham aderido ao que se tornou a Grande Busca de Primos de Mersenne Via Internet, ou Gimps (na sigla em inglês para Great Internet Mersenne Prime Search).
Esteja avisado, porém, de que a busca não está livre de riscos. Um recruta da Gimps trabalhava para uma companhia telefônica nos Estados Unidos e resolveu empenhar 2.585 dos computadores da empresa na procura dos primos de Mersenne. A companhia começou a desconfiar quando seus computadores passaram a levar cinco minutos, em vez de cinco segundos, para recuperar os números telefônicos. Quando o FBI descobriu a fonte da lentidão, o empregado admitiu: “Toda aquela potência computacional foi simplesmente tentadora demais para mim.” A companhia telefônica não viu com bons olhos a pesquisa científica e despediu o empregado.
Após setembro de 2006, os matemáticos estavam prendendo a respiração para ver quando o recorde superaria a barreira dos 10 milhões de dígitos. A expectativa não se devia apenas a razões acadêmicas — havia um prêmio de US$ 100 mil à espera da pessoa que chegasse primeiro. O prêmio em dinheiro era oferecido pela Electronic Frontier Foundation, organização sediada na Califórnia que estimula a colaboração e a cooperação no ciberespaço.
Se você quer que seu computador se junte ao Gimps, pode baixar o programa em www.me rse nne .org ou escanear o código com seu smartphone.
primos que quebravam o recorde foram encontrados com poucos dias de diferença. Detetive amador de números primos, o alemão Hans-Michael Elvenich deve ter imaginado que havia abocanhado o prêmio quando seu computador anunciou, em 6 de setembro de 2008, que acabara de encontrar um novo primo de Mersenne com 11.185.272 dígitos. Mas quando submeteu a descoberta às autoridades, sua empolgação se transformou em desespero — ele fora batido por catorze dias. Em 23 de agosto, o computador de Edson Smith, no Departamento de Matemática da Universidade da Califórnia (Ucla), descobrira um primo ainda maior, com 12.978.189 dígitos. Para a Ucla, em Los Angeles, quebrar recordes de números primos não é novidade. Nessa instituição, o matemático Raphael Robinson descobriu cinco primos de Mersenne na década de 1950, e mais dois foram encontrados por Alex Hurwitz no começo dos anos 1960.
Os encarregados de desenvolver o programa usado pela Gimps concordaram que o prêmio em dinheiro não devia ir somente para o sortudo encarregado de conferir aquele número de Mersenne. Concederam US$ 5 mil para os que desenvolveram o software, dividiram US$ 20 mil entre os que quebraram recordes com o software desde 1999, US$ 25 mil foram doados para caridade e o restante foi para Edson Smith, na Califórnia.
Se você ainda quer ganhar dinheiro procurando números primos, não se preocupe com o fato de o recorde de 10 milhões de dígitos ter sido ultrapassado. Para cada novo primo de Mersenne encontrado há um prêmio de US$ 3 mil. Mas se você anda atrás de dinheiro graúdo, há uma oferta de US$ 150 mil para ultrapassar os 100 milhões de dígitos, e um de US$ 200 mil se você conseguir passar a marca de 1 bilhão. Graças aos gregos antigos, sabemos que tais primos recordes estão ali à espera de alguém que os descubra. Agora, a questão é saber quanto a inflação vai comer do valor do prêmio quando alguém eventualmente reivindicar o próximo.
Como e scre ve r um núme ro de 12.978.189 dígitos
O número primo de Edson Smith é fabulosamente grande. Seriam necessárias mais de 3 mil páginas deste livro para registrar seus dígitos, mas felizmente um bocadinho de matemática pode gerar uma fórmula que expresse o número de maneira bem mais sucinta.
O número total de grãos de arroz até a enésima casa do tabuleiro é
R = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n – ² + 2n – 1
Eis um truque para encontrar uma fórmula para o número. À primeira vista, parece totalmente inútil de tão óbvia que é: R = 2R – R. Como uma equação tão óbvia pode ajudar a calcular R? Em matemática, muitas vezes ajuda um pouco assumir uma perspectiva ligeiramente diferente, porque aí então tudo começa a parecer completamente diferente.
Vamos, primeiro, calcular 2R. Isso significa duplicar todos os termos da grande soma. Mas a questão é que, se você duplicar os grãos de arroz numa casa, o resultado será igual ao número de grãos na casa seguinte. Assim,
2R = 2 + 4 + 8 + 16 + … 2n – 1 + 2n
O próximo passo é subtrair R. Isso simplesmente cancelará todos os termos de 2R, exceto o último:
R = 2R – R = (2 + 4 + 8 + 16 + … + 2n – 1 + 2n) – (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n – ² + 2n – 1) = (2 + 4 + 8 + 16 + … 2n – 1) + 2n – 1 – (2 + 4 + 8 + … + 2n – ² + 2n – 1)
Logo, o número total de grãos de arroz até a enésima casa do tabuleiro de xadrez é 2n – 1, e esta é a fórmula responsável pela atual quebra de recordes de números primos. Duplicando vezes suficientes e então subtraindo 1 do resultado, você tem esperança de achar um primo de Mersenne, como são chamados os primos encontrados por essa fórmula. Para chegar ao primo de 12.978.189 dígitos de Edson Smith, basta fazer n = 43.112.609 na fórmula.