Alguns anos atrás, ambientalistas notaram que a cada quatro anos o número de lemingues parecia diminuir drasticamente. Uma teoria popular era que, a cada tantas temporadas, esses roedores do Ártico dirigiam-se para um alto penhasco e se jogavam no abismo, mergulhando para a morte. Em 1958, uma unidade de história natural da Walt Disney Productions incluiu tomadas desse suicídio em massa no premiado documentário White Wilderness. A sequência parecia tão convincente que a palavra “lemingue” passou a ser usada para designar alguém que segue as massas sem questionar as consequências potencialmente desastrosas desse ato. O comportamento dos animais chegou a ser tema de um videogame no qual os jogadores tinham de salvar os lemingues de sua estúpida marcha rumo ao abismo.
FIGURA 5.08
Nos anos 1980, descobriu-se que a equipe de filmagem de White Wilderness havia falsificado toda a sequência. Segundo um documentário da TV canadense, os lemingues, que haviam sido comprados especialmente para a filmagem, recusaram-se a saltar em fila do penhasco — então, os membros da equipe os “estimulavam” quando eles chegavam à beirada. Mas se o suicídio em massa não é o responsável pela súbita queda no número de lemingues a cada quatro anos, qual a explicação?
Mais uma vez, descobrimos que a matemática tem a resposta. Uma equação simples nos diz quantos lemingues haverá de uma temporada para outra. Começamos por admitir que, por fatores ambientais tais como suprimento de comida e predadores, há um máximo de população que consegue sobreviver. Chamemos esse máximo de N. Digamos que L é o número de lemingues que sobreviveram da temporada anterior, e que, após os novos nascimentos, a população cresça para K lemingues. Uma fração desses K lemingues não irá sobreviver. A fração que morre é , ou seja, o número de lemingues no ano anterior dividido pela máxima população possível. Então, K × morrem, restando
K – K ×
lemingues no final dessa temporada. Para simplificar nossos cálculos, digamos que a população máxima seja N = 100.
Essa equação, embora simples, tem alguns resultados surpreendentes. Comecemos olhando o que acontece se a população de lemingues duplicar a cada primavera, de modo que K = 2L. Destes, 2L × morrerão. Suponhamos que na primeira temporada haja 30 lemingues. A equação prevê que no fim da segunda temporada haverá 60 – (60 × ) = 42 lemingues. Eles continuam aumentando em número, até que no quarto ano há 50 lemingues.
Para ver as cenas de White Wilderness, vá para http://bit.ly/Whitewilderness, ou use o seu smartphone para escanear o código.
Daí por diante, o número de lemingues que sobrevive a cada ano permanece constante, em 50. A surpresa é que, qualquer que seja a população original no começo da primeira temporada, o número de lemingues restantes no fim de cada temporada subsequente sempre acabará se assentando em metade do número máximo, e ali permanecerá. Assim, uma vez atingido o número de 50 lemingues, esse número dobra para 100 durante a temporada, mas no fim dela 100 × terão morrido, deixando novamente uma população de 50 lemingues (Figura 5.09).
FIGURA 5.09: Se os lemingues duplicam de número a cada primavera, a população atinge um valor estável seja qual for o número inicial de animais.
O que acontecerá se os lemingues forem mais fecundos? Se a população de lemingues chegar a um número ligeiramente superior a um triplo da anterior, de uma temporada para outra, ela não se estabilizará, mas oscilará entre dois valores. Em uma temporada, o número que sobrevive é bastante elevado; no ano seguinte ele cai.
Quando os lemingues ficam ainda mais fecundos, a população começa a flutuar de maneira estranha. Se a população aumentar num fator de 3,5, então o número total de lemingues oscila entre quatro valores, repetindo o padrão a cada quatro anos. (O fator preciso em que aparecem pela primeira vez os quatro valores é , que dá, aproximadamente, 3,449.) E é aí que descobrimos que, em um desses quatro anos, pode haver uma queda significativa no número de lemingues, não por um pacto de suicídio em massa, mas por causa da matemática.
FIGURA 5.10: Se os lemingues triplicarem em número na primavera, a população começará a oscilar.
FIGURA 5.11: Quando o número de lemingues cresce na primavera num fator de 3,5, a população oscila entre quatro valores diferentes.
A mudança realmente interessante na dinâmica populacional acontece quando os lemingues aumentam em número num fator ligeiramente superior a 3,5699. Aí, os números de um ano para outro dão saltos esquisitos, aparentemente sem qualquer motivo. Mesmo que a equação que calcule a população seja simples, ela começou a produzir resultados caóticos. Mude o número inicial de lemingues, e a dinâmica populacional será completamente diferente. Acima desse limiar onde se instala o caos, 3,5699, é praticamente impossível predizer como a população irá variar. A equação que controla os números da população pode começar de modo totalmente previsível, mas basta uma minúscula mudança na fecundidade dos animais para o caos de repente irromper.
FIGURA 5.12: Quando o número de lemingues cresce na primavera num fator de 3,5699 ou mais, as variações de população se tornam caóticas.
Como jogar o jogo da fórmula do pe ixe
Este é um jogo para duas pessoas. Baixe o arquivo pdf do site Num8er My5teries e recorte os dez peixes e o tanque. O jogo explora como o número de peixes varia com o correr das temporadas. Cada peixe corresponde a uma temporada, e há uma caixa ao lado de cada peixe na qual você pode acompanhar o número de peixes no tanque que correspondem a determinada temporada. O tanque pode suportar um máximo de doze peixes. Os peixes sobrevivem por um ano, e durante esse ano eles têm certo número de filhotes e então morrem.
Jogue os dados. O número de peixes que começam no tanque é a soma dos dados menos um (então é um número entre 1 e 11). Chame este número de N0. O primeiro a jogar escolhe um número K, entre 1 e 50. Isso determinará quantos filhotes cada peixe terá. Se há N0 peixes no tanque, no início, então durante o primeiro ano nascem ( ) × N0 peixes. A quantidade de peixes é portanto multiplicada por , um número entre 0,1 e 5.
Nem todos os novos peixes sobrevivem. Se havia N peixes no tanque no fim do ano anterior, então, no final do ano seguinte, a quantidade de peixes será
Você precisa arredondar o resultado para cima ou para baixo a fim de obter um número inteiro de peixes (4,5 peixes é arredondado para 5).
Vamos fazer o tanque de peixes “existir” por dez anos. Os pontos do primeiro jogador correspondem à quantidade de peixes no tanque no final dos anos ímpares, e os do segundo jogador correspondem aos peixes existentes no tanque no final dos anos pares.
Seja Ni o número de peixes no ano i. Logo,
Pontos do Jogador 1: N1 + N3 + N5 + N7 + N9 Pontos do Jogador 2: N2 + N4 + N6 + N8 + N10
Anotando os peixes eliminados, você pode acompanhar os números populacionais de um ano para outro. Se todos os peixes morrem em algum momento, então o Jogador 1, que escolheu o multiplicador K, perde automaticamente.
Eis um exemplo. Os jogadores jogam os dois dados e o resultado é 4. Então há três peixes no tanque no começo do jogo: N0 = 3. O Jogador 1 escolhe K = 20. O número de peixes no fim do primeiro ano é, portanto,
No segundo ano haverá
peixes, e no terceiro ano haverá
peixes. A quantidade de peixes agora se estabilizou, porque o 6 se repete quando colocado na fórmula. Logo,
Jogador 1 soma 5 + 6 + 6 + 6 + 6 = 29 peixes Jogador 2 soma 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 peixes
O Jogador 2 ganha. Veja o que acontece quando você varia o multiplicador K.
Como estamos arredondando os números para cima e para baixo, o jogo não tem toda a sutileza do modelo caótico que eliminava os lemingues.
Para um simulador do tanque on-line, a fim de acompanhar esse jogo, visite http://bit.ly/Tanksim.
Na versão do jogo nessa simulação do tanque on-line a quantidade de peixes exibida foi arredondada para cima ou para baixo, mas a fração de peixes é inserida na fórmula para o ano seguinte. Por exemplo, se K = 27 e N0 = 3,
N1 = 6,075 — arredondado para 6 peixes N2 = 8,09873 — arredondado para 8 peixes N3 = 7,10895 — arredondado para 7 peixes N4 = 7,8233 — arredondado para 8 peixes
N5 = 7,352 — arredondado para 7 peixes N6 = 7,68872 — arredondado para 8 peixes N7 = 7,45835 — arredondado para 7 peixes N8 = 7,62147 — arredondado para 8 peixes N9 = 7,50844 — arredondado para 8 peixes N10 = 7,58804 — arredondado para 8 peixes
Jogador 1: 6 + 7 + 7 + 7 + 8 = 35 peixes Jogador 2: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 peixes