Conte o número de pétalas de um girassol. Geralmente são 89, um número primo. O número de pares de coelhos após onze gerações também é 89. Teriam os coelhos e as flores descoberto alguma fórmula secreta para achar números primos? Não exatamente. Eles gostam de 89 não por ser primo, mas porque é um dos outros números favoritos da natureza: os números de Fibonacci. O matemático italiano Fibonacci de Pisa descobriu essa importante sequência de números em 1202, quando tentava entender a maneira como os coelhos se multiplicam (no sentido biológico, não matemático).
Fibonacci começou imaginando um par de filhotes de coelhos, um macho e uma fêmea. Chamemos esse ponto de partida de mês 1. No mês 2, esses coelhos amadureceram, tornando- se um par adulto, capaz de reproduzir e gerar no mês 3 um novo par de filhotes. (Para o propósito desse experimento conceitual, todas as crias consistem em um macho e uma fêmea.) No mês 4 o primeiro par adulto produz outro par de filhotes. O primeiro par de coelhos filhotes chegou então à idade adulta, de modo que agora há dois pares de coelhos adultos e dois pares de coelhos filhotes. No mês 5 os dois pares de coelhos adultos produzem um par de filhotes. Os filhotes do mês 4 tornam-se adultos. Logo, no mês 5 há três pares de coelhos adultos e dois pares de coelhos filhotes, perfazendo cinco pares no total. O número de pares de coelhos em meses sucessivos é dado pela seguinte sequência:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Manter a conta de todos esses coelhos que se multiplicam era uma boa dor de cabeça, até que Fibonacci divisou um modo fácil de encontrar os números. Para se chegar ao número seguinte na sequência, basta somar os dois números anteriores. O maior dos dois é, obviamente, o número de pares de coelhos até esse ponto. Todos eles sobrevivem até o mês seguinte, e o número menor é a quantidade de pares adultos. Esses pares adultos produzem, cada um, um par adicional de coelhos filhotes, de modo que o número de coelhos no mês seguinte é a soma dos números das duas gerações anteriores.
FIGURA 1.22: Os números de Fibonacci são a chave para calcular o crescimento da população de coelhos.
Alguns leitores poderão reconhecer essa sequência do romance de Dan Brown, O código
Da Vinci. Eles são, de fato, o primeiro código que o herói precisa decifrar no seu caminho
para o Santo Graal.
Não são apenas os coelhos e Dan Brown que gostam desses números. O número de pétalas de uma flor com frequência é um número de Fibonacci. O trílio tem três, o amor-perfeito tem cinco, as esporas-bravas têm oito, o malmequer tem treze, a chicória, 21, o piretro, 34, e os girassóis geralmente têm 55 ou até 89 pétalas. Essas plantas, como algumas margaridas, são feitas de duas cópias da flor. E se a sua flor não tem um número de Fibonacci de pétalas, então é porque uma pétala caiu… Esse é o modo como os matemáticos contornam as exceções. (Não quero ser inundado de cartas de jardineiros irados, então reconheço que há algumas exceções que não são simplesmente exemplos de flores murchas. Por exemplo, a flor-estrela geralmente tem sete pétalas. A biologia nunca é perfeita como a matemática.)
Assim como nas flores, podem-se encontrar os números de Fibonacci percorrendo de cima a baixo cones de pinhas e abacaxis. Corte uma fatia transversal de uma banana e você descobrirá que ela se divide em três segmentos. Corte uma maçã a meio caminho entre o talo e a base, e você verá uma estrela de cinco pontas. Faça o mesmo com um caqui, e você obterá uma estrela de oito pontas. Seja na população de coelhos, seja na estrutura de frutas ou girassóis, os números de Fibonacci parecem brotar sempre que ocorre algum tipo de crescimento.
A maneira como as conchas evoluem também está intimamente relacionada a esses números. Um caracol bebê começa com uma concha minúscula, efetivamente uma casinha quadrada de 1 × 1. Quando ele fica maior que a concha, acrescenta mais um aposento à casa, e
vai repetindo o processo à medida que continua a crescer. Uma vez que não tem muitas opções, simplesmente adiciona um aposento cujas dimensões se baseiam nas dos dois aposentos anteriores, exatamente como os números de Fibonacci são a soma dos dois números anteriores. O resultado desse crescimento é uma espiral simples, mas bela.
FIGURA 1.23: Como construir uma concha usando os números de Fibonacci.
Esses números não deveriam de forma alguma ser batizados com o nome de Fibonacci, pois ele não foi o primeiro a tropeçar neles. Na verdade, não foram absolutamente descobertos por matemáticos, mas por poetas e músicos na Índia medieval. Os poetas e músicos indianos eram peritos em explorar todas as possíveis estruturas rítmicas geradas pela combinação de unidades rítmicas breves e longas. Se um som longo tem o dobro de duração de um som curto, então, quantos padrões diferentes existem com um número estabelecido de compassos? Por exemplo, com oito compassos é possível fazer quatro sons longos ou oito curtos. Mas há uma porção de combinações entre esses extremos.
No século VIII d.C., o escritor indiano Virahanka assumiu o desafio de determinar exatamente quantos ritmos diferentes são possíveis. Descobriu que, à medida que o número de compassos cresce, o número de padrões rítmicos possíveis é dado pela seguinte sequência: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Ele percebeu, exatamente como Fibonacci, que para chegar ao número seguinte na sequência bastava somar os dois anteriores. Assim, se deseja saber quantos ritmos possíveis há com nove compassos, você vai até o oitavo número da sequência, obtido somando-se 13 e 21, para chegar a 34 padrões rítmicos diferentes.
Talvez seja mais fácil compreender a matemática por trás desses ritmos que tentar acompanhar a crescente população de coelhos de Fibonacci. Por exemplo, para obter o número de ritmos com oito compassos pegam-se os ritmos com seis compassos e soma-se um som longo, ou pegam-se os ritmos com sete compassos e soma-se um som breve.
Há uma intrigante conexão entre a sequência de Fibonacci e os protagonistas deste capítulo, os primos. Olhemos para os primeiros números de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Todo p-ésimo número de Fibonacci, onde p é um número primo, é ele próprio primo. Por exemplo, 11 é primo e o 11º número de Fibonacci é 89, também primo. Se isso sempre funcionasse seria um ótimo modo de gerar primos cada vez maiores. Infelizmente não funciona. O 19º número de Fibonacci é 4.181, e embora 19 seja primo, 4.181 não é: vale 37 × 113. Nenhum matemático até hoje provou se existe uma quantidade infinitamente grande de números de Fibonacci primos. Esse é outro dos muitos mistérios não solucionados dos