Se não é possível escrever os primos numa grande tabela, talvez encontremos algum padrão que nos ajude a gerar os primos. Será que existe algum modo sagaz de olhar para os primos que você tem até agora e saber onde estará o próximo?
Eis os primos que descobrimos usando o crivo de Eratóstenes para os números de 1 a 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 91, 97
O problema com os primos é que pode ser realmente difícil descobrir onde estará o próximo, porque não parece haver qualquer padrão na sequência que nos ajude a localizá-los. Na verdade, eles parecem mais um conjunto de números de um bilhete de loteria do que os blocos construtivos da matemática. Como quando você espera um ônibus, há um intervalo enorme sem primos e de repente vários deles aparecem em rápida sucessão. Esse comportamento é muito característico dos processos regidos pelo acaso, como veremos no Capítulo 3.
Exceto 2 e 3, o mais perto que se encontram dois números primos é com o intervalo de um não primo entre eles, como 17 e 19 ou 41 e 43, já que o número entre cada dupla é sempre par, e portanto não primo. Essas duplas de primos muito próximos são chamadas de primos gêmeos. Com a minha obsessão por primos, minhas filhas gêmeas quase acabaram se chamando 41 e 43. Afinal, se Chris Martin e Gwyneth Paltrow podem chamar seu bebê de Apple (“Maçã”), e Frank Zappa pode chamar suas filhas de Moon Unit (“Unidade Lunar”) e Diva Thin Muffin Pigeen (algo como “Diva Magra Bolinho Porquinha”), por que as minhas gêmeas não podem se chamar 41 e 43? Minha esposa não ficou tão animada, de modo que estes passaram a ser meus nomes do meio “secretos” das meninas.
Embora os primos fiquem mais e mais raros à medida que se avança no universo dos números, é extraordinária a frequência com que de repente surge outra dupla de gêmeos. Por exemplo, após o primo 1.129 não há primos entre os 21 números seguintes, e de repente aparecem os primos gêmeos 1.151 e 1.153. E quando você vai além do primo 102.701, é preciso forçar passagem por 59 não primos, e aí de repente surge a dupla 102.761 e 102.763. Os maiores primos gêmeos descobertos, no começo de 2009, têm 58.711 dígitos. Considerando que é necessário um número de apenas 80 dígitos para descrever a quantidade
de átomos no Universo observável, esses números são incrivelmente grandes.
Mas haverá mais além desses dois gêmeos? Graças à prova de Euclides, sabemos que vamos encontrar primos infinitamente, mas continuaremos a deparar com primos gêmeos? Até agora ninguém apareceu com uma prova inteligente como a de Euclides para demonstrar que existe uma infinidade de primos gêmeos.
Em certo momento, parecia que os primos gêmeos seriam a chave para desvendar o segredo dos números primos. Em O homem que confundiu sua mulher com um chapéu, Oliver Sacks descreve o caso real de dois gêmeos autistas savants que usavam os primos como linguagem secreta. Os irmãos gêmeos sentavam-se na clínica de Sacks, trocando entre si grandes números. Primeiro Sacks ficou paralisado com o diálogo, mas uma noite ele quebrou o segredo do código. Depois de esquentar a cabeça sozinho com alguns números primos, resolveu testar sua teoria. No dia seguinte, juntou-se aos gêmeos enquanto eles permutavam números de seis dígitos. Depois de um tempo, Sacks aproveitou uma pausa no papo numérico para anunciar um primo de sete dígitos, pegando os gêmeos de surpresa. Os dois ficaram sentados pensando por algum tempo, uma vez que aquilo ampliara o limite dos primos que vinham trocando até então, e aí sorriram ao mesmo tempo, como se reconhecessem um amigo.
Durante o período que foram acompanhados por Sacks, os gêmeos conseguiram chegar a primos com nove dígitos. Claro, ninguém acharia nada de impressionante se eles estivessem simplesmente trocando números ímpares ou talvez até quadrados perfeitos, mas o impressionante em relação ao que estavam fazendo era o fato de os primos serem tão aleatoriamente distribuídos. Uma explicação para como conseguiam fazê-lo está relacionada a outra habilidade que possuíam. Muitas vezes eles apareciam na televisão impressionando o público ao dizer, por exemplo, que 23 de outubro de 1901 tinha sido uma quarta-feira. Descobrir o dia da semana a partir de determinada data é feito por algo chamado aritmética modular ou de relógio. Talvez os gêmeos tenham descoberto que essa aritmética de relógio também era a chave para um método que identifica se um número é primo.
Se você pegar, digamos, o número 17 e calcular 217, então, se o resto da divisão desse número por 17 for 2, essa é uma boa evidência de que o número 17 é primo. O teste para detecção de primos com frequência é atribuído, erroneamente, aos chineses. Foi Pierre de Fermat, matemático francês do século XVII, quem provou que se o resto não é 2 isso certamente implica que 17 não é primo. Em geral, se você quiser verificar se p não é primo, calcule 2p e divida o resultado por p. Se o resto não for 2, então p não é primo. Algumas
pessoas especularam que, dada a aptidão dos gêmeos para identificar dias da semana, o que depende de uma técnica similar à de procurar os restos da divisão por 7, podiam muito bem estar usando o teste para achar os primos.
De início, os matemáticos pensaram que se 2p não tem resto 2 na divisão por p, então p
devia ser primo. Mas descobriu-se que esse teste não garante que o número seja primo. Por exemplo, 341 = 31 × 11 não é primo, todavia, 2341 dividido por 341 dá resto 2. Esse caso só foi descoberto em 1819, e é possível que os gêmeos tivessem conhecimento de algum teste mais sofisticado que excluísse o 341. Fermat mostrou que o teste pode ser estendido além de potências de 2, provando que, se p é primo, então, para qualquer número n menor que p, np
sempre terá resto n quando dividido pelo primo p. Assim, se você achar algum número n para o qual isso não sirva, pode jogar fora p como número primo impostor.
possibilidade de verificar todos os números menores que seu candidato a primo, seriam testes demais a fazer. No entanto, o grande mago húngaro dos números primos, Paul Erdos, estimou (embora não pudesse provar rigorosamente) que para testar se um número menor que 10150 é primo, se ele passar apenas uma vez pelo teste de Fermat, isso significa que as chances de não ser primo são de 1 para 1043. Assim, provavelmente, um teste bastava para os gêmeos terem o estalo da descoberta de um primo.